限制 (數學)

若某函數存在反函數，其映射必為單射。若映射 ${\displaystyle f}$ 非單射，可以限制其定義域以定義其一部分的反函數。如：

　　${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

因為 ${\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}$，故非單射。但若將定義域限制到 ${\displaystyle x\geq {0}}$ 時該映射為單射，此時有反函數

　　${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}}$

（若限制定義域至 ${\displaystyle x\leq {0}}$，輸出 ${\displaystyle y}$ 的負平方根的函數為反函數。）另外，若允許反函數為多値函數，則無需限制原函數的定義域。

點集拓撲學中的粘接引理聯繫了函數的連續性與限制函數的連續性。

設拓撲空間 ${\displaystyle A}$ 的子集 ${\displaystyle X,\ Y}$ 同時為開或閉，且滿足 ${\displaystyle A=X\cup {Y}}$，設 ${\displaystyle B}$ 為拓撲空間。若映射 ${\displaystyle f:A\to {B}}$ 到 ${\displaystyle X}$ 及 ${\displaystyle Y}$ 的限制都連續，則 ${\displaystyle f}$ 也是連續的。

基於此結論，粘接在拓撲空間中的開或閉集合上定義的兩個連續函數，可以得到一個新的連續函數。

層將函數的限制推廣到其他物件的限制。

層論中，拓撲空間${\displaystyle X}$的每個開集${\displaystyle U}$，有另一個範疇中的物件${\displaystyle F(U)}$與之對應，其中要求${\displaystyle F}$滿足某些性質。最重要的性質是，若一個開集包含另一個開集，則對應的兩個物件之間有限制態射，即若${\displaystyle V\subseteq U}$，則有態射${\displaystyle \mathrm {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)}$，且該些態射應仿照函數的限制，滿足下列條件：

1. 對${\displaystyle X}$的每個開集${\displaystyle U}$，限制態射${\displaystyle \mathrm {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)}$為${\displaystyle F(U)}$上的恆等態射。
2. 若有三個開集${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U}$，則複合${\displaystyle \mathrm {res} _{W,V}\circ \mathrm {res} _{V,U}=\mathrm {res} _{W,U}}$。
3. （局部性）若${\displaystyle (U_{i})}$為某個開集${\displaystyle U}$的開覆蓋，且${\displaystyle s,t\in F(U)}$滿足：對所有${\displaystyle i}$，${\displaystyle s\upharpoonright _{U_{i}}=t\upharpoonright _{U_{i}}}$，則${\displaystyle s=t}$。
4. （黏合) 若${\displaystyle (U_{i})}$為某個開集${\displaystyle U}$的開覆蓋，且對每個${\displaystyle i}$，給定截面${\displaystyle s_{i}\in F(U_{i})}$，使得對任意兩個${\displaystyle i,j}$，都有${\displaystyle s_{i},s_{j}}$在定義域重疊部分重合（即${\displaystyle s_{i}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}}}$），則存在截面${\displaystyle s\in F(U)}$使得對所有${\displaystyle i}$，${\displaystyle s\upharpoonright _{U_{i}}=s_{i}}$。

所謂拓撲空間${\displaystyle X}$上的層，就是該些物件${\displaystyle F(U)}$和態射${\displaystyle \mathrm {res} _{V,U}}$組成的整體${\displaystyle (F,\mathrm {res} )}$。若僅滿足前兩項條件，則稱為預層。