一致有界性原理

設 X 和 Y 為兩個巴拿赫空間。假設 F 為由 X 映向 Y 的若干個連續線性算子的集合。若對於 X 中的任意一個 x ，都有

${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,}$

則

${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F,\|x\|=1}\|T(x)\|_{Y}=\sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty .}$

該定理可以推出：若一列有界算子 (T_n) 逐點收斂，即對 X 的任意元素 x, 序列 (T_n(x)) 都收斂，則該列有界算子的逐點極限定義了另一個有界算子 T.

注意上述推論並未斷言 T_n 在算子範數的意義下收斂到 T, 即：在有界集上一致收斂。然而，由於 (T_n) 在算子範數意義下有界，且其極限算子為一個連續算子 T, 可以利用標準的 "3-ε" 技巧證明，在任意緊集上，均有 T_n 一致收斂到 T.

另一推論為：賦範空間 Y 的弱有界子集 S 必然有界。

理由是，可以將 S 看成巴拿赫空間 X = Y* (Y的連續對偶）上逐點有界的一族連續線性算子。由一致有界性原理，S 的元素（視為 X 的線性泛函）的算子範數（即雙對偶 Y** 上的範數）有界，但由哈恩－巴拿赫定理可知，S 的任意元素 s 在雙對偶空間的範數，等於其於原空間 Y 的範數。

記 L(X, Y) 為自 X 映向 Y 的連續線性算子空間（賦以算子範數）。若族 F 為 L(X, Y) 的無界子集，則由一致有界性原理，有：

${\displaystyle R=\left\{x\in X\$ :\ \sup \nolimits _{T\in F}\|Tx\|_{Y}=\infty \right\}\neq \varnothing }

更甚者，R 在 X 中稠密。原因是，R 在 X 中的補集是 ∪X_n, 故為閉集 X_n 的可數並。按照定理的證明過程，每個 X_n 都无处稠密，故 ∪X_n 為第一綱集。所以 R 是貝爾空間中一個第一綱集的補集。根據貝爾空間的定義，這樣的集（稱為剩餘集）是稠密的。如此推理可得奇點凝聚原理，即：

原因是，R 的補集可以寫成第一綱集的可數並

${\displaystyle \bigcup \nolimits _{n,m}\left\{x\in X\$ :\ \sup \nolimits _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}\leq m\right\}.}

因此其剩餘集 R 稠密。

設 ${\displaystyle \mathbb {T} }$ 為單位圓，${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$ 為 ${\displaystyle \mathbb {T} }$ 上連續函數在一致範數意義下組成的巴拿赫空間。由一致有界性原理，可以證明 ${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$ 中有一個元素，其傅立葉級數不逐點收斂。

對 ${\displaystyle f\in C(\mathbb {T} ),}$ 其傅立葉級數定義為

${\displaystyle \sum _{k\in \mathbf {Z} }{\hat {f}}(k)e^{ikx}=\sum _{k\in \mathbf {Z} }{\frac {1}{2\pi }}\left(\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-ikt}dt\right)e^{ikx},}$

而級數的第 N 階對稱部分和為

${\displaystyle S_{N}(f)(x)=\sum _{k=-N}^{N}{\hat {f}}(k)e^{ikx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)D_{N}(x-t)\,dt,}$

其中 D_N 為第 N 階狄利克雷核。選定 ${\displaystyle x\in \mathbb {T} ,}$ 然後考慮序列 (S_N(f)(x)) 的收斂性。以下式定義泛函 ${\displaystyle \varphi _{N,x}:C(\mathbb {T} )\rightarrow \mathbb {C} }$ ：

${\displaystyle \varphi _{N,x}(f)=S_{N}(f)(x),\qquad f\in C(\mathbb {T} ),}$

則 φ_N,x 有界。而 φ_N,x 於 ${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$ 的對偶空間的範數，是帶號測度 (2π)⁻¹D_N(x−t) dt 的範數，故

${\displaystyle \left\|\varphi _{N,x}\right\|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(x-t)\right|\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(s)\right|\,ds=\left\|D_{N}\right\|_{L^{1}(\mathbb {T} )}.}$

可以驗證

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|D_{N}(t)|\,dt\geq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|\sin \left((N+{\tfrac {1}{2}})t\right)\right|}{t/2}}\,dt\to \infty .}$

故族 {φ_N,x} 是 ${\displaystyle C(\mathbb {T} )^{\ast }}$ (${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$ 的對偶）的無界子集。因此，由一致有界性原理可知，對任意 ${\displaystyle x\in \mathbb {T} ,}$傅立葉級數於 x 發散的連續函數在 ${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$ 中稠密。

也可運用奇點凝聚原理來得出更強的結論。設 (x_m) 為 ${\displaystyle \mathbb {T} }$ 中的稠密序列。如上定義 φ_N,xm. 則由奇點凝聚原理，傅立葉級數於每一個 x_m 都發散的連續函數在 ${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$ 中稠密。（然而要注意，根據卡爾松定理，一個連續函數 f 的傅立葉級數，幾乎於每一點 ${\displaystyle x\in \mathbb {T} }$ 都收斂到 f(x).

受最少限制，而類似結論仍然適用的空間，是桶型空間。其上的一致有界性原理為（Bourbaki 1987，Theorem III.2.1）:

若把 X 換成一個貝爾空間而保持 Y 為局部凸的，則結論同樣成立。（Shtern 2001）

Dieudonné (1970) 證明了 Fréchet 空間上一個較弱的結論：

若 X 為 Fréchet 空間， Y 為賦範空間，H 為由 X 映向 Y 的若干連續線性算子組成的集合，其滿足對 X 中的任意元素 x，

${\displaystyle \sup \nolimits _{u\in H}\|u(x)\|<\infty ,}$

則族 H 等度連續。

• 桶型空間是具有最少條件，而使巴拿赫–斯坦豪斯定理成立的拓撲向量空間。

• Banach, Stefan; Steinhaus, Hugo, (PDF), Fundamenta Mathematicae, 1927, 9: 50–61 [2018-12-01], （原始内容存档 (PDF)于2019-05-01）. （法文）
• Bourbaki, Nicolas, , Elements of mathematics, Springer, 1987, ISBN 978-3-540-42338-6
• Dieudonné, Jean, , Academic Press, 1970.
• Rudin, Walter, , McGraw-Hill, 1966.
• Shtern, A.I., , Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
• Sokal, Alan, , Amer. Math. Monthly, 2011, 118: 450–452, arXiv:1005.1585 , doi:10.4169/amer.math.monthly.118.05.450.