万有系数定理

考虑模的张量积${\displaystyle H_{i}(X;\ \mathbb {Z} )\otimes A}$。该定理指出，有一个涉及Tor函子的短正合列

${\displaystyle 0\to H_{i}(X;\mathbf {Z} )\otimes A\,{\overset {\mu }{\to }}\,H_{i}(X;A)\to \operatorname {Tor} _{1}(H_{i-1}(X;\mathbf {Z} ),A)\to 0.}$

其中μ是双射${\displaystyle H_{i}(X;\ \mathbb {Z} )\times A\to H_{i}(X;\ A)}$诱导的映射。即，张量积的同态由直积的双射诱导。此外，这序列会分裂，虽然不是自然分裂。

若系数环A是${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$，这就是伯克斯坦谱序列的一个特例。

令G为主理想域R（如${\displaystyle \mathbb {Z} }$或某个域）上的模。

还有一个涉及Ext函子的上同调的万有系数定理，断言有自然的短正合列

${\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{R}^{1}(H_{i-1}(X;R),G)\to H^{i}(X;G)\,{\overset {h}{\to }}\,\operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X;R),G)\to 0.}$

与同调情形一样，序列会分裂，虽然不是自然分裂。

事实上，假设

${\displaystyle H_{i}(X;G)=\ker \partial _{i}\otimes G/\operatorname {im} \partial _{i+1}\otimes G}$

并定义：

${\displaystyle H^{*}(X;G)=\ker(\operatorname {Hom} (\partial ,G))/\operatorname {im} (\operatorname {Hom} (\partial ,G)).}$

则上面的h就是规范映射：

${\displaystyle h([f])([x])=f(x).}$

另一种观点是用艾伦伯格–麦克莱恩空间表示上同调，当中h将X到${\displaystyle K(G,\ i)}$的映射的同伦类映射到同调中导出的相应同态。于是，艾伦伯格–麦克莱恩空间弱右伴随于同调函子。[1]

令${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} )}$，即实射影空间。计算X的系数在${\displaystyle R=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$中的奇异上同调。

已知，整数同调由下式给出：

${\displaystyle H_{i}(X;\mathbf {Z} )={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\text{ or }}i=n{\text{ odd,}}\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{odd,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

有${\displaystyle {\rm {Ext}}(R,\ R)=R,\ {\rm {Ext}}(\mathbb {Z} ,\ R)=0}$，于是上述正合列给出

${\displaystyle \forall i=0,\ldots ,n:\qquad \ H^{i}(X;R)=R.}$

事实上，总上同调环结构是

${\displaystyle H^{*}(X;R)=R[w]/\left\langle w^{n+1}\right\rangle .}$

定理的一个特例是计算整上同调。对有限CW复形X，${\displaystyle H_{i}(X;\ \mathbb {Z} )}$是有限生成的，因此有如下分解：

${\displaystyle H_{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i},}$

其中${\displaystyle \beta _{i}(X)}$是X的贝蒂数，${\displaystyle T_{i}}$是${\displaystyle H_{i}}$的扭部分。可以检验

${\displaystyle \operatorname {Hom} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Hom} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Hom} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},}$

且

${\displaystyle \operatorname {Ext} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Ext} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Ext} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong T_{i}.}$

这给出了整上同调的如下声明：

${\displaystyle H^{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i-1}.}$

对于有向闭连通n维流形X，这一推论与庞加莱对偶性相结合，得出${\displaystyle \beta _{i}(X)=\beta _{n-i}(X)}$。

对具有扭系数的（上）同调，有万有系数定理的推广。对于上同调，有

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=Ext_{R}^{q}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H^{p+q}(C_{*};G)}$

其中R是单位环，${\displaystyle C_{*}}$是R上自由模的链复形，G是某单位环S的任意${\displaystyle (R,S)}$-双模，${\displaystyle {\rm {Ext}}}$是Ext群。微分${\displaystyle {\rm {d}}^{r}}$的度为${\displaystyle (1-r,\ r)}$。

同调也类似

${\displaystyle E_{p,q}^{2}={\rm {Tor}}_{q}^{R}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H_{*}(C_{*};G)}$

其中${\displaystyle {\rm {Tor}}}$是Tor群，微分${\displaystyle {\rm {d}}_{r}}$的度为${\displaystyle (r-1,\ -r)}$。

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79540-0. A modern, geometrically flavored introduction to algebraic topology. The book is available free in PDF and PostScript formats on the author's homepage.
• Kainen, P. C. . Mathematische Zeitschrift. 1971, 122: 1–9. S2CID 122894881. doi:10.1007/bf01113560.
• Jerome Levine. “Knot Modules. I.” Transactions of the American Mathematical Society 229 (1977): 1–50. https://doi.org/10.2307/1998498

• Universal coefficient theorem with ring coefficients