三角形半無限邊形鑲嵌

三角形半無限邊形鑲嵌與截半六邊形鑲嵌共用相同的頂點座標[2]。若對應的三角形半無限邊形鑲嵌邊長為單位長，則對應的頂點座標可以透過截半六邊形鑲嵌的對稱性推出。對任意整數${\displaystyle \mathrm {i} }$和${\displaystyle \mathrm {j} }$，三角形半無限邊形鑲嵌的頂點座標可以表示為：[6]

${\displaystyle \left({\sqrt {3}}\mathrm {i} ,\,\mathrm {i} +2\mathrm {j} +1\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {3}}\mathrm {i} +{\frac {\sqrt {3}}{2}},\,\mathrm {j} +{\frac {1}{2}}\right)}$

雙三角形半無限邊形鑲嵌與擬正半多面體類似，可以視為一種退化的半多面體，[註 2]構造自施萊夫利符號計為h{6,3}的三角形鑲嵌，並從這種鑲嵌中的兩種面——原始三角形面或h{6,3}變換結果的三角形面中取其中以種三角形面和作為半球面的無限邊形面構成。[3]

• 
  h{6,3}
• 
  取其中一種三角形面構成的雙三角形半無限邊形鑲嵌
• 
  取另種三角形面構成的雙三角形半無限邊形鑲嵌

雙三角形半無限邊形鑲嵌每個頂點都是3個三角形和3個無限邊形的公共頂點。特別地，由於雙三角形半無限邊形鑲嵌的頂點圖環繞頂點2次，因此這個頂點圖在頂點布局符號中要使用除以二的符號來表示：(∞, 3, ∞, 3, ∞, 3 ) / 2，亦可以表示為[(3,∞)³]/2或[(3/2,∞)³] 。[7]

皮特里三角形鑲嵌

類別	均勻星形鑲嵌圖
名稱	皮特里三角形鑲嵌 Petrial triangular tiling
數學表示法
施萊夫利符號	{3,6}π {∞,6}3
組成與佈局
面的種類	扭歪無限邊形
圖像
（頂點圖）

皮特里三角形鑲嵌是正三角形鑲嵌的皮特里對偶，可以透過將原有三角形鑲嵌上取皮特里多邊形構成，換句話說，皮特里三角形鑲嵌為由正三角形鑲嵌的皮特里多邊形構成的幾何結構。[10]

• 
  組成皮特里三角形鑲嵌的扭歪無限邊形

皮特里三角形鑲嵌可以視為一種由扭歪無限邊形組成的廣義正多面體[11]，對應的扭歪內角為60度，且每個頂點都是6個扭歪無限邊形的公共頂點，對應的皮特里多邊形為三角形，這樣的拓樸結構在施萊夫利符號中可以用{∞,6}₃來表示。[10]

• 
  皮特里三角形鑲嵌的每個頂點都是6個扭歪無限邊形的公共頂點

三元邊十二角無限邊形
淡藍色的三角形為三元邊
類型	複數空間無限邊形
邊	無窮個3{}
頂點	無窮
施萊夫利符號	3{12}2
考克斯特符號
鮑爾斯縮寫	tha
特性	正、複

複無限邊形是指邊數為正無窮大的複多邊形。有兩種複無限邊形頂點排佈與三角形半無限邊形鑲嵌及截半六邊形鑲嵌相同。複無限邊形的一個特點是其邊可以包含多於2個頂點，如三元邊。正複無限邊形在施萊夫利符號中可以記為p{q}r，其中p、q、r滿足等式1/p + 2/q + 1/r = 1。在這個符號中，p表示每個邊由p個頂點構成，頂點的排列方式同於正多邊形；r表示其頂點圖為r邊形。[12]

3{12}2	6{6}2