上极限和下极限

序列${\displaystyle (x_{n})}$的上极限定义是

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{k\geq n}x_{k}=\inf\{\,\sup\{\,x_{k}:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}}$；

或者

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sup _{m\geq n}x_{m}\right)}$。

同样的，序列${\displaystyle x_{n}}$的下极限定义是

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{k\geq n}x_{k}=\sup\{\,\inf\{\,x_{k}:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}}$；

或者

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\inf _{m\geq n}x_{m}\right)}$。

这些定义在任意的偏序集都适用，只需要上确界和下确界存在。 在完全格裡，上确界和下确界总是存在，所以其中的序列一定有上极限和下极限。

每当${\displaystyle \liminf x_{n}}$和${\displaystyle \limsup x_{n}}$都存在，那么

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}}$。

上极限和下极限也记为${\displaystyle \varlimsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}}$和${\displaystyle \varliminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}}$。

实数集 R 的数列对微积分很重要。R 不是完備格，但可以加入正负无穷以得到完備全序集 ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$，形成完備格。那么在 ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$ 中数列 ${\displaystyle (x_{n})}$ 收敛当且仅当 ${\displaystyle \liminf x_{n}=\limsup x_{n}}$，而这时 ${\displaystyle \lim x_{n}}$ 等于上面的共同值。[註 2]

若實數數列 ${\displaystyle (x_{n})}$ 的上極限為實數[註 3]，那麼上極限是最小的實數 a，使得對任意小的正實數 ${\displaystyle \epsilon }$，都存在足夠大的正整數 N，使得對所有 ${\displaystyle n\geq N}$，都有 ${\displaystyle x_{n}<a+\epsilon }$。換言之，對任何大於上極限的實數，都存在 N 使得這實數是數列 ${\displaystyle (x_{n})_{n\geq N}}$ 的上界。

若實數數列 ${\displaystyle (x_{n})}$ 的下極限為實數，那麼下極限是最大的實數 b，使得對任意小的正實數 ${\displaystyle \epsilon }$，都存在足夠大的正整數 N，使得對所有 ${\displaystyle n\geq N}$，都有 ${\displaystyle x_{n}>b-\epsilon }$。換言之，對任何小於下極限的實數，都存在 N 使得這實數是數列 ${\displaystyle (x_{n})_{n\geq N}}$的下界。

設 ${\displaystyle (x_{n})}$ 是整數數列。若其上極限為實數 a，由於 ${\displaystyle \lfloor a\rfloor }$ 也符合上述條件，故此 a 必是整數。[註 4]在條件中取 ${\displaystyle \epsilon <1}$，得出 a 是最小的實數，使得存在正整數 N，對所有 ${\displaystyle n\geq N}$，都有 ${\displaystyle x_{n}\leq a}$。因此 a 是最大的整數，使得有無限個 ${\displaystyle x_{n}=a}$。同樣地，若其下極限為實數 b，則 b 是最小的整數，使得有無限個 ${\displaystyle x_{n}=b}$。

若 ${\displaystyle I=\liminf x_{n}}$ 和 ${\displaystyle S=\limsup x_{n}}$ ，那么区间 ${\displaystyle [I,S]}$ 不一定包含任何的 ${\displaystyle x_{n}}$，但是轻微扩大了的 [I-ε,S+ε] 对任意小的ε > 0都会包含除了有限项外所有的 x_n。区间 [I, S] 是适合这个性质的最小闭区间。

集合X的冪集P(X)是完備格。对于P(X)中的序列，也就是X的子集的序列，其上下极限也有用处。

若${\displaystyle X_{n}}$是这样的序列，那么X的元素a属于${\displaystyle \liminf X_{n}}$，当且仅当存在自然数${\displaystyle n_{0}}$使得对于所有${\displaystyle n>n_{0}}$，a在${\displaystyle X_{n}}$裡。元素a属于${\displaystyle \limsup X_{n}}$，当且仅当对所有自然数${\displaystyle n_{0}}$，都存在一个指数${\displaystyle n>n_{0}}$使得a在${\displaystyle X_{n}}$裡。换句话说，${\displaystyle \limsup X_{n}}$包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有无限多个n，使得它在集合${\displaystyle X_{n}}$裡；而${\displaystyle \liminf X_{n}}$包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有除了有限多个外的所有n，使得它在${\displaystyle X_{n}}$裡。

以集合论的标准语言来说，一个集合序列的下确界是这些集合的可数交，也就是包含在所有集合裡的最大集合：

${\displaystyle \inf \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcap _{m=1}^{\infty }}X_{m}}$。

令${\displaystyle I_{n}}$为自${\displaystyle X_{n}}$起的集合的下确界。那么序列${\displaystyle I_{n}}$非递减，因为${\displaystyle I_{n}\subset I_{n+1}}$。所以，第1至n个下确界的并集就是第n个下确界。下极限就是这序列的极限：

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)}$。

上极限可以相反方式定义。一个集合序列的上确界是包含这些集合的最小集合，也就是它们的可数并：

${\displaystyle \sup \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcup _{m=1}^{\infty }}X_{m}}$。

上极限是这个非递增的上确界序列的可数交（其中每个上确界都包含在前一个裡面）。

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)}$。

例子或应用可见波莱尔－坎泰利引理，柯西-阿达马公式（Cauchy-Hadamard Formula）。

• Amann, H.; Escher, Joachim. . Basel; Boston: Birkhäuser. 2005. ISBN 0817671536. 引文使用过时参数coauthors (帮助)

• González, Mario O. . New York: M. Dekker. 1991. ISBN 0824784154.