偏序关系

给定集合S，“≤”是S上的二元关系，若“≤”满足：

1. 自反性：∀a∈S，有a≤a；
2. 反对称性：∀a，b∈S，a≤b且b≤a，则a=b；
3. 传递性：∀a，b，c∈S，a≤b且b≤c，则a≤c；

则称“≤”是S上的非严格偏序或自反偏序。

给定集合S，“＜”是S上的二元关系，若“＜”满足：

1. 反自反性：∀a∈S，有a≮a；
2. 反对称性：∀a，b∈S，a＜b ⇒ b≮a；
3. 传递性：∀a，b，c∈S，a＜b且b＜c，则a＜c；

则称“＜”是S上的严格偏序或反自反偏序。

严格偏序与有向无环图（DAG）有直接的对应关系。一个集合上的严格偏序的关系图就是一个有向无环图。其传递闭包是它自己。

容易证明以下结论：

• 给定集合S上的一个（非严格，自反）偏序「≤」，则可自然地诱导出S上的一个（严格，反自反）偏序「<」，只需如此定义：a < b，如果 a ≤ b 且 a ≠ b。
• 给定集合S上的一个（严格，反自反）偏序「<」，则可自然地诱导出S上的一个（非严格，自反）偏序「≤」，只需如此定义：a ≤ b，如果 a < b 或 a = b。
• 给定集合S上的一个（非严格，自反）偏序「≤」，其逆关系「≥」也是S上的一个（非严格，自反）偏序；
• 给定集合S上的一个（严格，反自反）偏序「<」，其逆关系「>」也是S上的一个（严格，反自反）偏序；

由上述可知，只要定义了「≤」、「<」、「≥」、「>」中的任何一个，其余三个关系的定义可以自然诱导而出，这四种关系实际上可以看成一体。故此在不严格区分的情况下，只需定义其一即可（通常是「≤」），称之为集合S上的偏序关系。（“偏序关系”通常被用来称呼非严格偏序关系。）

• （非严格，自反）偏序和（严格，反自反）偏序之间的对应关系不同于在（非严格）弱序和严格弱序直接的对应（逆关系的补集）。只有对于全序这些对应才是相同的。

若集合S上定义了一个偏序，则S称为偏序集（poset）；若将其上的偏序关系改为其逆关系，得到的新偏序集S'称为S的序对偶。

虽然通常术语“有序集”用来称呼全序集，但当上下文中不涉及其他序关系时，“有序集”也可用于称呼偏序集。