中國數學史

此一時期(220-581)，中國數學在四方面有長足進展，分別為直角三角形三邊關係的確認、測量學、平面面積和立體體積的計算，以及推算圓周率，由趙爽、劉徽、祖沖之與祖暅父子4人個別或相繼完成。

趙爽是魏晉時人，著有《周髀算經注》，其中「勾股圓方圖注」附有圖示，列出有關直角三角形三邊關係的命題21條，分屬「勾股」定理、「弦圖」定理、「勾實之矩」定理與「股實之矩」定理。當中唯有「勾股」定理已見於《周髀算經》。

稍後的劉徽亦魏晉時人，著有《九章算術注》，為《九章算術》各種算法提出簡括証明。他並在注文中提出割圓術，以内接正六邊形开始，逐次倍加邊數的方法，逐步逼近圓周率。《九章算術》僅以π=3，劉徽則先求得${\displaystyle \pi ={\frac {157}{50}}=3.14}$，和晋武库王莽铜律嘉量比较，觉得“此术微小”，于是再用圆周率捷法求得π=${\displaystyle {\frac {3927}{1250}}=3.1416}$[8]。前三世紀，希臘數學家阿基米德已用正多邊形逐漸增加邊數的方法求圓周率，但他兼用內接和外切兩種計算，得到出的估計值:${\displaystyle {223 \over 71}<\pi <{\frac {22}{7}}}$；也就是 ${\displaystyle 3.140845<\pi <3.142857}$[9]。 劉徽的割圓術相比更為簡便，刘徽所得的π=3.1416也优于阿基米德[10]。

劉徽並在《九章算術注》提出重差術，應用中国传统的出入相补原理，以多達4次的觀測，測量山高水深等數值。在唐代，有關重差術的注文被抽出單行，題為《海島算經》，成为《算经十书》之一。刘徽创造的四次重差观测术，“使中国测量学达到登峰造极的地步”[11]，使“中国在數學测量学的成就，超越西方约一千年”（美国数学家弗兰克·斯委特兹语）[12]

劉徽的注釋兼用圖形和模型作說明，以圖形相互拼湊方法解決各種面積計算問題，相當於一般平面幾何學中所用的平移與疊合的方法；並用直截面積的方法來計算立體體積。他指出《九章算術》計算球體體積方法錯誤，但亦未能提出更準確方法。這個疑問須留待祖沖之解決。

祖沖之(429-500)與祖暅父子使中國數學發展創一高峰。祖沖之著有《綴術》、《九章術義注》及《重差注》（一說《綴術》乃祖暅所作），惜俱失佚。

數學上祖沖之的最大貢獻有二：推算圓周率及計算球體體積（一說後者乃祖暅之法）。他繼承劉徽的割圓術，計算圓周率準確至小數點後7位數(3.1415926<π<3.1415927)，這個記錄保持了900多年，至15世紀方為阿拉伯數學家阿爾．卡西(al-Kashi)打破。祖冲之还采用了两个分数值的圆周率：“约率”${\displaystyle {\tfrac {22}{7}}}$以及“密率”${\displaystyle {\tfrac {355}{113}}}$。日本数学家三上义夫说，“约率${\displaystyle \pi ={\tfrac {22}{7}}}$，无非是几百年前希腊数学家阿基米德已经得到的数值，但是${\displaystyle \pi ={\tfrac {355}{113}}}$ 这个分数，却是翻遍古希腊，古印度和阿拉伯的数学文献都找不到的分数，希腊人肯定不知道它；在欧洲直到1586年才由荷兰人安托尼斯宗（Adriaan Anthoniszoon）求出了${\displaystyle {\tfrac {355}{113}}}$这个比值。因此，中国人掌握这个非凡的圆周率分数比欧洲早出整整一千年之久”。为纪念这位伟大的中国古代数学家，三上义夫要求把${\displaystyle 355 \over 113}$称为“祖率”[13]。

祖沖之（或祖暅）並以直截面積相比的方法，解決球體體積問題（在西方，球體體積問題前三世紀阿基米德已解決），其法今存於唐代李淳風的《九章算術注》中。祖沖之計算方法巧妙，應用現今所謂「卡瓦列里定理」：「等高處的截面面積相等，則二立體的體積相等。」此定理今人公認是意大利數學家卡瓦列里(Gavalieri)所創，因而命名，其實早已為祖沖之所應用。

曆法方面，祖沖之編定「大明曆」，在身故後10年為梁朝所采用，取代何承天(370-447)欠準確的舊曆。

秦九韶的 《数书九章》发展了一元高次方程求数值解的程序化、机械化算法。

元代朱世杰的 《四元玉鉴》发展了多至四元的多项式方程组的消元和求解的算法。

明代朱載堉发明十二平均律时，使用80档大算盘，计算开平方，开立方到小数点后25位。

• 算学宝鉴

隨著西學東漸，中國數學逐漸與西方數學體系合流，並做出顯著的貢獻，但傳統算學仍然用於日常生活，如使用算盤的珠算仍然用於日常商業買賣中，尤其是傳統貨品的店舖。

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