中心极限定理

若 ${\displaystyle X\sim B(n,p)}$ 是 ${\displaystyle n}$ 次伯努利实验中事件 A 出现的次数，每次試驗成功的機率為 ${\displaystyle p}$，且 ${\displaystyle q=1-p}$，则对任意有限区间 ${\displaystyle [a,b]}$：

令${\displaystyle x_{k}\equiv {\frac {k-np}{\sqrt {npq}}}}$，當${\displaystyle n\to {\infty }}$时

(i) ${\displaystyle P(X=k)\to {\frac {1}{\sqrt {npq}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x_{k}^{2}}}$

(ii) ${\displaystyle P\left(a\leq {\frac {X-np}{\sqrt {npq}}}\leq {b}\right)\to \int _{a}^{b}\varphi (x)dx}$，其中${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}(-\infty <x<\infty ).}$

高尔顿绘制的高尔顿板模型，其中的小球显出钟形曲线。

棣莫弗-拉普拉斯定理指出二项分布的极限为正态分布。高尔顿板可以看作是伯努利试验的实验模型。如果我们把小球碰到钉子看作一次实验，而把从右边落下算是成功，从左边落下看作失败，就有了一次${\displaystyle p={\frac {1}{2}}}$的伯努利试验。小球从顶端到底层共需要经过n排钉子，这就相当于一个n次伯努利试验。小球的高度曲线也就可以看作二项分布随机变量的概率密度函数。因此，中央极限定理解释了高尔顿板小球累积高度曲线为什么是正态分布独有的钟形曲线。

设随机变量${\displaystyle X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}}$独立同分布， 且具有有限的数学期望和方差${\displaystyle E(X_{i})=\mu }$，${\displaystyle D(X_{i})=\sigma ^{2}\neq 0(i=1,2,\cdots ,n)}$。记

${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$，${\displaystyle \zeta _{n}={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}$，则 ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }P\left(\zeta _{n}\leq z\right)=\Phi \left(z\right)}$

其中${\displaystyle \Phi (z)}$是标准正态分布的分布函数。

记${\displaystyle X_{k}-\mu }$的特征函数为${\displaystyle \varphi (t)}$，根据傅里叶变换，样本空间中的褶积在特征函数空间变为乘积，因此${\displaystyle \zeta _{n}}$的特征函数为${\displaystyle {\left[\varphi {\left({\frac {t}{\sigma {\sqrt {n}}}}\right)}\right]}^{n}}$.由于${\displaystyle E(X_{k})=\mu ,D(X_{k})=\sigma ^{2}}$故${\displaystyle \varphi '(0)=0,\varphi ''(0)=-\sigma ^{2}.}$因此

${\displaystyle \varphi (t)=1-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}+o(t^{2})}$

所以

${\displaystyle {\left[\varphi {\left({\frac {t}{\sigma {\sqrt {n}}}}\right)}\right]}^{n}=\left[1-{\frac {1}{2n}}t^{2}+o\left({\frac {t^{2}}{n}}\right)\right]^{n}\to {e^{-t^{2}/2}}}$

由于${\displaystyle e^{-t^{2}/2}}$是连续函数，它对应的分布函数为${\displaystyle \Phi (Z)}$，因此由逆极限定理知

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }P\left(\zeta _{n}\leq z\right)\to \Phi \left(z\right)}$

定理证毕。

记随机变量序列${\displaystyle X_{i}}$（${\displaystyle X_{i}}$独立但不一定同分布，${\displaystyle E[X_{i}]=0}$且有有限方差）部分和为

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

记

${\displaystyle s_{i}^{2}={\rm {Var}}(X_{i})}$

${\displaystyle \sigma _{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}s_{i}^{2}={\rm {Var}}(S_{n})}$.

如果对每个${\displaystyle \epsilon >0}$，序列满足

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{1 \over \sigma _{n}^{2}}\sum _{i=1}^{n}E[X_{i}^{2};\{|X_{i}|>\epsilon \sigma _{n}\}]=0}$

则称它满足林德伯格（Lindeberg）条件。

满足此条件的序列趋向于正态分布，即

${\displaystyle S_{n}/\sigma _{n}{\stackrel {d}{\rightarrow }}N(0,1)}$

同时，该条件也是期望为零、方差有限的独立变量之和趋于正态分布的必要条件。

与之相关的是李亚普诺夫（Lyapunov）条件：

${\displaystyle E[|X_{i}|^{3}]<\infty ,\,\lim _{n\rightarrow \infty }{1 \over \sigma _{n}^{3}}\sum _{i=1}^{n}E[|X_{i}|^{3}]=0}$

满足李亚普诺夫条件的序列，必满足林德伯格条件。

在此只对较强的李亚普诺夫条件给出证明。

以下证明对每一实数${\displaystyle t}$，特征函数满足${\displaystyle \varphi _{S_{n}/\sigma _{n}}(t)\rightarrow e^{-t^{2}/2}}$。

${\displaystyle \left|\varphi _{S_{n}/\sigma _{n}}(t)-e^{-t^{2}/2}\right|=\left|\prod _{k=1}^{n}\varphi _{X_{k}}(t/\sigma _{n})-\prod _{k=1}^{n}e^{-t^{2}s_{k}^{2}/2\sigma _{n}^{2}}\right|\leq \sum _{k=1}^{n}\left|\varphi _{X_{k}}(t/\sigma _{n})-e^{-t^{2}s_{k}^{2}/2\sigma _{n}^{2}}\right|}$

泰勒展开，上式可近似为

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left|{\frac {i^{3}t^{3}E[X_{k}^{3}]}{6\sigma _{n}^{3}}}+{\frac {t^{4}s_{k}^{4}}{8\sigma _{n}^{4}}}\right|\leq {|t|^{3} \over 6\sigma _{n}^{3}}\sum _{k=1}^{n}E[|X_{k}|^{3}]+{\frac {t^{4}}{8\sigma _{n}^{4}}}\sum _{k=1}^{n}s_{k}^{4}\leq {|t|^{3} \over 6\sigma _{n}^{3}}\sum _{k=1}^{n}E[|X_{k}|^{3}]+{\frac {t^{4}}{8}}\max _{1\leq k\leq n}{s_{k}^{2} \over \sigma _{n}^{2}}}$

由李亚普诺夫条件，当${\displaystyle n\rightarrow \infty }$时，第一项收敛于零。

令${\displaystyle k_{n}={\rm {arg}}\max _{1\leq k\leq n}s_{k}^{2}/\sigma _{n}^{2}}$，则由李亚普诺夫不等式，

${\displaystyle (s_{k_{n}}/\sigma _{n})^{3/2}\leq E[|X_{k_{n}}/\sigma _{n}|^{3}]\leq {\frac {1}{\sigma _{n}^{3}}}\sum _{k=1}^{n}E[|X_{k}|^{3}]}$

因此第二项也收敛于零。

证毕。