乘法表

乘法表是数学中用于定义一个数系中的乘法运算。

世界上最早的十进位乘法表《算表》

在初等算术中

乘法表（如教授小学生乘法运算时所使用的那种）是一个表格，其各行和各列以要相乘的数开头，表格中部的单元格中的数则是该单元格所在的行、列上开头的数的乘积。

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132
12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144

举例来说，3 × 6 的结果18可以通过在表中查3和6开头的行列交叉处单元格的内容得到。

表中未列出关于零的运算，这是因为任何数乘以零都等于零。

各国使用的乘法表有可能不太一样。举例来说，有的国家的乘法表包含的范围是从1×1到10×10，有些是从2×1到9×9，还有些是从1×1到12×12。

习惯用法

乘法运算的传统的强记型的学习方式是基于对表中各列的记忆的，以如下的方式：

1 × 7 = 7
2 × 7 = 14
3 × 7 = 21
4 × 7 = 28
5 × 7 = 35
6 × 7 = 42
7 × 7 = 49
8 × 7 = 56
9 × 7 = 63

在中国的使用习惯
条目：九九表

在中国，用于基本算术教育的乘法表只包含了上表中从1×1到9×9的部分，所以通常被称作“九九表”，又稱九因歌。

为了减少需要记忆的内容和使形式更简明易用，根据乘数可交换的运算规则，去掉了表中重复的部分。这样表就变成了一个三角形：

1 1
2 24
3 36 9
4 48 1216
5 510 15 2025
6 612 18 2430 36
7 714 21 2835 4249
8 816 24 3240 48 5664
9 918 27 3645 54 6372 81
× 1 2 3 4 5 6 7 8 9

中国的学龄前儿童在记忆以上经过简化的乘法表是通过口诀来记忆的，例如：“一二得二，二二得四，二三得六，二四得八，二五一十，二六十二，二七十四，二八十六，二九十八....”。对于9×7这样的计算，孩子们能条件反射地将较小的乘数调整到前面，并使用口诀“七九六十三”得到结果。由于任何数与1相乘都等于该数自身，所以通常也不用背诵乘数为1的行列，这样最终需要背诵的口诀只有36句。

九九表和乘法表不同之处在于乘数、被乘数只限单位数，最高到9，便于儿童背记；多位数的的乘法留归算术进位乘法解决，无需要背记。换言之九九表是乘法表的核心。

表中的模式

例如，与6相乘的运算呈现出以下模式：

 2 × 6 = '12'
 4 × 6 = '24'
 6 × 6 = '36'
 8 × 6 = '48'
 10 × 6 = '60'

可归纳为：

 數 × 6 = 該數乘以10的一半 + 該數

该法则可方便地用于偶数，其实对于奇数也同样适用：

 1 × 6 = 05 +  1 =  6
 2 × 6 = 10 +  2 = 12
 3 × 6 = 15 +  3 = 18
 4 × 6 = 20 +  4 = 24
 5 × 6 = 25 +  5 = 30
 6 × 6 = 30 +  6 = 36
 7 × 6 = 35 +  7 = 42
 8 × 6 = 40 +  8 = 48
 9 × 6 = 45 +  9 = 54
10 × 6 = 50 + 10 = 60

另外，與9相乘的運算呈現出以下模式：

 數 × 9 = 該數乘以10 - 該數
 1 × 9 = 10 -  1 =  9
 2 × 9 = 20 -  2 = 18
 3 × 9 = 30 -  3 = 27
 4 × 9 = 40 -  4 = 36
 5 × 9 = 50 -  5 = 45
 6 × 9 = 60 -  6 = 54
 7 × 9 = 70 -  7 = 63
 8 × 9 = 80 -  8 = 72
 9 × 9 = 90 -  9 = 81
10 × 9 = 100 - 10 = 90

在抽象代数中

乘法表亦可用于定义群、域、环、及其它抽象代数中的二元运算。在此类环境中这些乘法表被称为凯莱表，可以参看八元数中的例子。

清华简乘法表

收藏在清华大学的清华简《算表》是世界上最早的十进位乘法表文物[1]

《清华简算表》示意图

參考資料

外部链接

参考文献
  1. 《自然杂志》The 2,300-year-old matrix is the world's oldest decimal multiplication table （页面存档备份，存于）
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