八元数

八元數第一次被描述於1843年，於一封约翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中。格雷夫斯稱其為「octaves」。[1]^:168後來八元數由阿瑟·凯莱在1845年獨自發表。[2]格雷夫斯發表結果的時間點比阿瑟·凯莱發表的時間稍晚一些[3]。阿瑟·凯莱發表的八元數和约翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中所提及的並無關係。阿瑟·凯莱是獨自發現八元數的，[2]因此八元數又被稱為凯莱數或凯莱代數。哈密頓則描述了八元數被發現並描述的早期歷史。[4]

八元数可以视为实数的八元组。八元数有多種構造方式。以凯莱-迪克森结构為例，八元数可以表達為2個四元數P與Q的組合，即 P+Q l 或${\displaystyle p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,}$，其中，量l為其中一個八元数單位並滿足：[5]

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=-1\,}$

在這種定義下每一个八元数都是单位八元数{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的线性组合。也就是说，每一个八元数x都可以写成[6]

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}$

其中系数x_a是实数。 這些八元数單位亦滿足：[5]

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=(il)^{2}=(jl)^{2}=(kl)^{2}=-1\,}$

八元数的加法是把对应的系数相加，就像复数和四元数一样。根据线性，八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表来决定。[6]

${\displaystyle \times }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle l}$	${\displaystyle il}$	${\displaystyle jl}$	${\displaystyle kl}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle l}$	${\displaystyle il}$	${\displaystyle jl}$	${\displaystyle kl}$
${\displaystyle i}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle -j}$	${\displaystyle il}$	${\displaystyle -l}$	${\displaystyle -kl}$	${\displaystyle jl}$
${\displaystyle j}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle jl}$	${\displaystyle kl}$	${\displaystyle -l}$	${\displaystyle -il}$
${\displaystyle k}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle -i}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle kl}$	${\displaystyle -jl}$	${\displaystyle il}$	${\displaystyle -l}$
${\displaystyle l}$	${\displaystyle l}$	${\displaystyle -il}$	${\displaystyle -jl}$	${\displaystyle -kl}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$
${\displaystyle il}$	${\displaystyle il}$	${\displaystyle l}$	${\displaystyle -kl}$	${\displaystyle jl}$	${\displaystyle -i}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle j}$
${\displaystyle jl}$	${\displaystyle jl}$	${\displaystyle kl}$	${\displaystyle l}$	${\displaystyle -il}$	${\displaystyle -j}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -i}$
${\displaystyle kl}$	${\displaystyle kl}$	${\displaystyle -jl}$	${\displaystyle il}$	${\displaystyle l}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle -j}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle -1}$

一些不同的定義方式會將八元數的單位元素表達為e_a的線性組合，其中 a=0, 1,..., 7 ：[7]

${\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},}$

當中的${\displaystyle e_{0}}$為實數單位。每個八元數單位元素皆不相等，而其平方為實數。也就是說，每個八元數 x 都可以寫成以下形式[8]：

${\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7},\,}$[9]^:5

其中x_i為單位元素e_i的係數，且必為實數。八元數的加法和減法是通過加減相應的項以及它們的係數來完成的，與四元數的加減法類似。 乘法則較為複雜。 八元數的乘法是對加法的分配，所以兩個八元數的乘積可以通過對所有項的乘積求和來計算，再次如同四元數一般。 每對項的乘積可以通過係數的乘積和單位八元數的乘法表給出[7]，其乘法表的結構與{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的模式（${\displaystyle p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,}$）類似。這個乘法表先後由Graves於1843年和Cayley於1845年描述：[10]

${\displaystyle e_{i}e_{j}}$[11]		${\displaystyle e_{j}}$
		${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$
${\displaystyle e_{i}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$
	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{6}}$
	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$
	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$
	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$
	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}$
	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{1}}$
	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$

除了主對角線上以及${\displaystyle e_{0}}$作為操作數的行和列的元素之外，乘法表中的大多數非對角元素都是反對稱的，這使得這個乘法表幾乎是一個斜對稱矩陣。

該表可總結如下：[12]

${\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}e_{j},&{\text{if }}i=0\\e_{i},&{\text{if }}j=0\\-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

其中δ_ij為克罗内克δ函数（當且僅當i = j時為1）、 ε_ijk為完全反對稱張量，且當ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365時，值為1。[9]

然而，上述定義並不是唯一的。這些定義只是${\displaystyle e_{0}=1}$八元數乘法的480個可能定義之一。其他的八元數乘法定義可以透過置換和改變非標量基元素${\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},}$的符號來獲得。[13]這480個不同乘法定義對應的代數結構是同構的，很少需要考慮使用哪個特定的乘法規則。

這480個八元數乘法定義中，每一定義的正負號在7循環（1234567）下的特定點上都是不變的，並且對於每個7循環有四個定義，它們的區別在於正負號和順序的反轉。 一個常見的選擇是使用 e₁e₂ = e₄的7循環（1234567）下的定義不變量 — 通過使用三角乘法圖或下面的 法诺平面，該平面還顯示了基於124的7循環三元組及其相關乘法的排序列表e_n和${\displaystyle ijkl}$格式的矩陣。[14]

此外，亦有一些文獻會將八元數的單位定義為${\displaystyle 1,i,j,k,L,m,n,o}$。[15]

法诺平面记忆

八元数的乘积的简单记忆。

一个用来记忆八元数的乘积的方便办法，由右面的图给出。这个图中有七个点和七条直线（经过i、j和k的圆也視為一条直线），称为法诺平面。[17]这些直线是有向的。七个点对应于Im(${\displaystyle \mathbb {O} }$)的七个标准基元素。每一对不同的点位于唯一的一条直线上，而每一条直线正好通过三个点。[18]

设(a, b, c)为位于一条给定的直线上的三个有序点，其顺序由箭头的方向指定。那么，乘法由下式给出：[18]

ab = c，ba = −c

以及它们的循环置换。这些规则[18]

• 1是乘法单位元，
• 对于图中的每一个点，都有${\displaystyle e^{2}=-1}$

完全定义了八元数的乘法结构。七条直线的每一条都生成了${\displaystyle \mathbb {O} }$的一个子代数，与四元数${\displaystyle \mathbb {H} }$同构。[8]^:151-152

八元数的乘法既不是交换的：[9]^:6

${\displaystyle ij=-ji\neq ji\,}$

也不是结合的：[5]^:41

${\displaystyle (ij)l=-i(jl)\neq i(jl)\,}$

然而，八元数确实满足结合性的一个较弱形式──交错性[9]^:2。这就是说，由任何两个元素所生成的子代数是结合的。[9]^:3实际上，我们可以证明，由${\displaystyle \mathbb {O} }$的任何两个元素所生成的子代数都与${\displaystyle \mathbb {R} }$、${\displaystyle \mathbb {C} }$或${\displaystyle \mathbb {H} }$同构，它们都是结合的。由于八元数不满足结合性，因此它们没有矩阵的表示法，与四元数不一样。[9]

八元数确实保留了${\displaystyle \mathbb {R} }$、${\displaystyle \mathbb {C} }$和${\displaystyle \mathbb {H} }$共同拥有的一个重要的性质：${\displaystyle \mathbb {O} }$上的範数满足

${\displaystyle \|xy\|=\|x\|\|y\|}$

这意味着八元数形成了一个非结合的赋範可除代数。所有由凯莱-迪克松构造所定义的更高维代数都不满足这个性质，因為它们都存在零因子。[19]

这样，实数域上唯一的赋範可除代数是${\displaystyle \mathbb {R} }$、${\displaystyle \mathbb {C} }$、${\displaystyle \mathbb {H} }$和${\displaystyle \mathbb {O} }$。这四个代数也形成了实数域上唯一的交错的、有限维的可除代数。[8]^:155

由于八元数不是结合的，因此${\displaystyle \mathbb {O} }$的非零元素不形成一个群。然而，它们形成一个拟群。

• 双曲复数
• 四元数
• 十六元数
• Spin(8)
• PSL(2,7)──法诺平面的自同构群。

1. 在範数可良好定義的前提下，${\displaystyle {\frac {x+x^{*}}{2}}\in \mathbb {R} }$，且${\displaystyle x^{*}x>0}$[16]，因此可以得到${\displaystyle x^{*}x=xx^{*}}$总是非负实数的結論。

• Baez, John, , Bull. Amer. Math. Soc., 2002, 39: 145–205 [2008-12-01], （原始内容存档于2008-12-09）. Online HTML version at . （原始内容存档于2008-10-09）.
• Conway, John Horton; Smith, Derek A., , A. K. Peters, Ltd., 2003, ISBN 1-56881-134-9. （. （原始内容存档于2016-09-10）.）