二次域

二次域${\displaystyle K:=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$裡的整數環${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$定義為該域中的代數整數。當${\displaystyle d\equiv 1\mod 4}$時，整數環可描述為${\displaystyle \mathbb {Z} ({\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}})}$，否則為${\displaystyle \mathbb {Z} ({\sqrt {d}})}$。當${\displaystyle d=-1}$時，這些整數稱為高斯整數，當${\displaystyle d=-3}$時，稱為艾森斯坦整數。

根據上述描述，${\displaystyle K}$的判別式不難計算：當${\displaystyle d\equiv 1\mod 4}$時判別式為${\displaystyle d}$，否則則為${\displaystyle 4d}$。

設${\displaystyle K:=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$，${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$為素數。數論關注的問題是${\displaystyle (p):=p{\mathcal {O}}_{K}}$如何在${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$中分解成素理想之積。根據數域的分歧理論，應考慮以下情形：

• ${\displaystyle p}$是慣性的：${\displaystyle p{\mathcal {O}}_{K}}$仍為素理想，此時${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/(p)\simeq \mathbb {F} _{p^{2}}}$。
• ${\displaystyle p}$分裂：${\displaystyle (p)}$為兩個相異素理想之積，此時${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/(p)\simeq \mathbb {F} _{p}^{2}}$。
• ${\displaystyle p}$分歧：${\displaystyle (p)}$為某個素理想之平方，此時${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/(p)}$含有非零的冪零元。

根據之前對判別式的計算，可知${\displaystyle p}$分歧當且僅當${\displaystyle p}$整除${\displaystyle K}$的判別式（${\displaystyle d}$或${\displaystyle 4d}$，取決於${\displaystyle d\mod 4}$）；對其餘無窮多個素數，前兩個情形皆會發生，而且其機率在某種意義上相等。