群

上面關於單位元和逆元素的部分也可以改為：

右单位元與右逆元素	存在 ${\displaystyle e\in G}$ ，對所有 ${\displaystyle g\in G}$ 有	${\displaystyle g\circ e=g}$
		且存在 ${\displaystyle \gamma \in G}$ 使得 ${\displaystyle g\circ \gamma =e}$

因為不管原來的淡紫色定義，還是淡黃色的替代性定義，配上結合律都會等價於以下的定義：

单位元與逆元素	存在 ${\displaystyle e\in G}$ ，對所有 ${\displaystyle g\in G}$ 有	${\displaystyle e\circ g=g\circ e=g}$
		且存在 ${\displaystyle \gamma \in G}$ 使得 ${\displaystyle \gamma \circ g=g\circ \gamma =e}$

以下是證明：

若二元運算 ${\displaystyle \circ :G\times G\to G}$ 滿足結合律，且 ${\displaystyle e_{l}\in G}$ 對任意 ${\displaystyle g\in G}$ 有

「${\displaystyle e_{l}\circ g=g}$ 」(left-1)

「存在某 ${\displaystyle \gamma _{l}\in G}$ 使 ${\displaystyle \gamma _{l}\circ g=e_{l}}$ 」(left-2)

因為 ${\displaystyle \circ }$ 是二元運算， ${\displaystyle g\circ \gamma \in G}$ 。所以根據(left-2)，存在 ${\displaystyle \Gamma \in G}$ 滿足

${\displaystyle \Gamma \circ (g\circ \gamma _{l})=e_{l}}$

這樣根據結合律和(left-1)與(left-2)有

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{l}&=\Gamma \circ (g\circ \gamma _{l})\\&=\Gamma \circ [\,g\circ (e_{l}\circ \gamma _{l})\,]\\&=\Gamma \circ \{\,g\circ [\,(\gamma _{l}\circ g)\circ \gamma _{l}\,]\,\}\\&=\Gamma \circ \{\,g\circ [\,\gamma _{l}\circ (g\circ \gamma _{l})\,]\,\}\\&=\Gamma \circ [\,(g\circ \gamma _{l})\circ (g\circ \gamma _{l})\,]\\&=[\,\Gamma \circ (g\circ \gamma _{l})\,]\circ (g\circ \gamma _{l})\\&=e\circ (g\circ \gamma _{l})\\&=g\circ \gamma _{l}\end{aligned}}}$

所以左逆元必為右逆元，這樣根據結合律有

${\displaystyle {\begin{aligned}g\circ e_{l}&=g\circ (\gamma _{l}\circ g)\\&=(g\circ \gamma _{l})\circ g\\&=e_{l}\circ g\end{aligned}}}$

所以左單位元必為右單位元。

類似地，若二元運算 ${\displaystyle \circ :G\times G\to G}$ 滿足結合律，且 ${\displaystyle e_{r}\in G}$ 對所有 ${\displaystyle g\in G}$ 有

「 ${\displaystyle g\circ e_{r}=g}$ 」(right-1)

「存在某 ${\displaystyle \gamma _{r}\in G}$ ，使 ${\displaystyle g\circ \gamma _{r}=e_{r}}$ 」(right-2)

因為 ${\displaystyle \gamma _{r}\circ g\in G}$ ，所以根據(right-2)存在 ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}\in G}$ 滿足

${\displaystyle (\gamma _{r}\circ g)\circ {\overline {\Gamma }}=e_{r}}$

所以根據結合律、(right-1)和(right-2)有

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{r}&=(\gamma _{r}\circ g)\circ {\overline {\Gamma }}\\&=[\,(\gamma _{r}\circ e_{r})\circ g\,]\circ {\overline {\Gamma }}\\&=\{\,[\,\gamma _{r}\circ (g\circ \gamma _{r})\,]\circ g\,\}\circ {\overline {\Gamma }}\\&=\{\,[\,(\gamma _{r}\circ g)\circ \gamma _{r}\,]\circ g\,\}\circ {\overline {\Gamma }}\\&=[\,(\gamma _{r}\circ g)\circ (\gamma _{r}\circ g)\,]\circ {\overline {\Gamma }}\\&=(\gamma _{r}\circ g)\circ [\,(\gamma _{r}\circ g)\circ {\overline {\Gamma }}\,]\\&=(\gamma _{r}\circ g)\circ e_{r}\\&=\gamma _{r}\circ g\end{aligned}}}$

所以右逆元也為左逆元。這樣根據結合律有

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{r}\circ g&=(g\circ \gamma _{r})\circ g\\&=g\circ (\gamma _{r}\circ g)\\&=g\circ e_{r}\end{aligned}}}$

所以右單位元必為左單位元。

再考慮到淡藍色是要求 ${\displaystyle e\in G}$ 同時為左右單位元且存在左右逆元，這樣就證明以上三種定義在有結合律的前提下等價。

整數系 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 是由所有整數所组成：

..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...[20]

可以看出，整数系和整数的加法是可以构成群的：

1. 對于任何兩個整數a和b，它们的和a + b也是整數，所以整數加法的確是個二元运算。
2. 對于任何整數a, b和c，(a + b) + c = a +（b + c）。也就是說，先把a加到b，然后把它們的和加到c，所得到的結果与把a加到b與c的和是相等的。
3. 如果a是任何整數，那么0 + a = a + 0 = a。所以 0 是整數加法的單位元，而且對所有a都存在另一個整數-a，使的a + (-a) = -a + a = 0。

實數集去除 0 即 R^# 是在乘法 '*' 下的群。

A1: 任何兩個 R^# 的元素相乘產生 R^# 的另一個元素。

A2: (a*b)*c = a*(b*c)。

A3: a*1 = a。因此 1 指示單位元。

A4: a ^-1*a = 1。因此 a ^-1 指示逆元。

以下是正方形的8个旋轉和翻轉：

id (保持原樣)	r1 (向右旋轉90°)	r2 (向右旋轉180°)	r3（向右旋轉270°）
fv (垂直翻轉)	fh (水平翻轉)	fd (對角翻轉)	fc（反對角翻轉）
注意顏色不同，「操作結果」才不同。數字只是去方便理解「操作過程」，數字有沒有顛倒不影響「操作結果」。

如果 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 是上述8個「操作」的其中一個，「操作的複合」 ${\displaystyle a\circ b}$ 定義為先對正方形操作 ${\displaystyle a}$ 之後再操作 ${\displaystyle b}$ 。比如說，右旋270° ( ${\displaystyle r_{3}}$ ) 然后水平翻轉（ ${\displaystyle f_{h}}$ ），等同於沿對角線的反射（ ${\displaystyle f_{d}}$ ），這樣就可以表示為 ${\displaystyle r_{3}\circ f_{h}=f_{d}}$ 。

下面的群表列出了這種「操作的複合」的所有可能結果。

${\displaystyle \circ }$		先操作
		id	r1	r2	r3	fv	fh	fd	fc
後操作	id	id	r1	r2	r3	fv	fh	fd	fc
	r1	r1	r2	r3	id	fc	fd	fv	fh
	r2	r2	r3	id	r1	fh	fv	fc	fd
	r3	r3	id	r1	r2	fd	fc	fh	fv
	fv	fv	fd	fh	fc	id	r2	r1	r3
	fh	fh	fc	fv	fd	r2	id	r3	r1
	fd	fd	fh	fc	fv	r3	r1	id	r2
	fc	fc	fv	fd	fh	r1	r3	r2	id

如果取

${\displaystyle D_{4}=\left\{id,\,\,r_{1},\,r_{2},\,r_{3},\,f_{v},\,f_{h},\,f_{d},\,f_{c}\right\}}$

那麼根據以上的群表， ${\displaystyle \circ :D_{4}\times D_{4}\to D_{4}}$ 的確是個二元运算，而且 ${\displaystyle (D_{4},\,\circ )}$ 為群（其中 ${\displaystyle id}$ 符合單位元的要求），它被稱為二面體群。注意到上表淡紫色的部分破壞了交換律，所以二面體群不是交换群。

若群 ${\displaystyle \left(G,\,\circ \right)}$ 同時有兩個單位元 ${\displaystyle e\in G}$ 和 ${\displaystyle e^{\prime }\in G}$ ，那根據定義裡對單位元的定義，對於任意 ${\displaystyle g\in G}$ 有：

${\displaystyle g=e\circ g=g\circ e}$

${\displaystyle g=e^{\prime }\circ g=g\circ e^{\prime }}$

這樣的話，把 ${\displaystyle g}$ 分別代換為 ${\displaystyle e^{\prime }}$ 和 ${\displaystyle e}$ 就有

${\displaystyle e^{\prime }=e\circ e^{\prime }=e^{\prime }\circ e}$

${\displaystyle e=e^{\prime }\circ e=e\circ e^{\prime }}$

所以

${\displaystyle e^{\prime }=e}$

所以群的單位元是唯一的，這樣根據函數符號與唯一性間的關係，可以添加新的三元函數符號 ${\displaystyle e_{(G,\,\circ )}}$ 與以下的新公理（以下的合式公式 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 是 「${\displaystyle \circ }$ 是 ${\displaystyle G}$ 上的一個二元运算，且存在 ${\displaystyle \circ }$ 的單位元」的正式邏輯表述）

${\displaystyle [\neg {\mathcal {B}}\wedge (e_{(G,\,\circ )}=\varnothing )]\vee [{\mathcal {B}}\wedge (\forall g\in G)(e_{(G,\,\circ )}\circ g=g\circ e_{(G,\,\circ )}=g)]}$

這條公理直觀上表示，只要「${\displaystyle \circ }$ 是 ${\displaystyle G}$ 上的一個二元運算，且存在 ${\displaystyle \circ }$ 的單位元」，就可以用 ${\displaystyle e_{(G,\,\circ )}}$ 這個符號簡記 「${\displaystyle \left(G,\,\circ \right)}$ 上的那個唯一單位元」，否則取 ${\displaystyle e_{(G,\,\circ )}}$ 為空集。

為了簡便起見， ${\displaystyle e_{(G,\,\circ )}}$ 通常記為 ${\displaystyle e_{G}}$ 甚至是 ${\displaystyle e}$ 。

在增添以上的新函數符號 ${\displaystyle e_{(G,\,\circ )}}$ 和新公理的情況下，就可以證明逆元素的唯一性。

若群 ${\displaystyle \left(G,\,\circ \right)}$ 的某元素 ${\displaystyle g\in G}$ 有兩個逆元 ${\displaystyle \gamma \in G}$ 和 ${\displaystyle {\bar {\gamma }}\in G}$ ，那根據定義和 ${\displaystyle e_{(G,\,\circ )}}$ 的新公理有

${\displaystyle e_{G}=g\circ \gamma =\gamma \circ g}$

${\displaystyle e_{G}=g\circ \gamma ^{\prime }=\gamma ^{\prime }\circ g}$

那這樣的話，依據定義裡的结合律和 ${\displaystyle e_{(G,\,\circ )}}$ 的新公理有

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\gamma }}&={\bar {\gamma }}\circ e_{G}\\&={\bar {\gamma }}\circ (g\circ \gamma )\\&=({\bar {\gamma }}\circ g)\circ \gamma \\&=e_{G}\circ \gamma \\&=\gamma \end{aligned}}}$

所以任意 ${\displaystyle g\in G}$ 只有一個逆元。這樣根據函數符號與唯一性間的關係，可以添加一個三元函數符號 ${\displaystyle {g^{-1}}_{(G,\,\circ )}}$ 與以下的新公理（以下的合式公式 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 是 「 ${\displaystyle \left(G,\,\circ \right)}$ 為一群，且 ${\displaystyle g\in G}$ 」的正式邏輯表述）

${\displaystyle [\neg {\mathcal {D}}\wedge ({g^{-1}}_{(G,\,\circ )}=\varnothing )]\vee [{\mathcal {D}}\wedge ({g^{-1}}_{(G,\,\circ )}\circ g={g^{-1}}_{(G,\,\circ )}\circ g=e_{G})]}$

這條公理直觀上表示，只要「 ${\displaystyle \left(G,\,\circ \right)}$ 為一群，且 ${\displaystyle g\in G}$ 」，就可以用 ${\displaystyle {g^{-1}}_{(G,\,\circ )}}$ 簡記 「${\displaystyle g}$ 在 ${\displaystyle \left(G,\,\circ \right)}$ 上對應的那個唯一逆元素」，否則取 ${\displaystyle {g^{-1}}_{(G,\,\circ )}}$ 為空集。

簡便起見， ${\displaystyle {g^{-1}}_{(G,\,\circ )}}$ 通常記為 ${\displaystyle g^{-1}}$。

若 ${\displaystyle \left(G,\,\circ \right)}$ 為一群，可以仿造整数指數，對任意 ${\displaystyle g\in G}$ 作如下關於符號簡寫的递归定义

${\displaystyle g^{0}:=e}$ （單位元視為 ${\displaystyle 0}$ 次方）

${\displaystyle g^{1}:=g}$

對所有的整数 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ， ${\displaystyle g^{n+1}:=g^{n}\circ g}$

對所有的整数 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ， ${\displaystyle g^{n-1}:=g^{n}\circ g^{-1}}$

如果群的運算可以跟直觀上的加法聯想在一起而改記為「 ${\displaystyle +}$ 」或「 ${\displaystyle \oplus }$ 」，這時也會把 ${\displaystyle f+g^{-1}}$ 改記為 ${\displaystyle f-g}$ 或 ${\displaystyle f\ominus g}$ ，這時會暱稱 ${\displaystyle f-g}$ 為減法。更有甚者，${\displaystyle g^{-1}}$ 會被記為 ${\displaystyle -g}$ 。

類似的，如果群的運算可以跟直觀上的乘法聯想在一起而改記為「 ${\displaystyle \times }$ 」或「 ${\displaystyle \otimes }$ 」，這時會把 ${\displaystyle f\times g^{-1}}$ 改記為 ${\displaystyle f\div g}$ 或 ${\displaystyle {\frac {f}{g}}}$ ，並暱稱為除法；更有甚者，${\displaystyle g^{-1}}$ 會被記為 ${\displaystyle {\frac {1}{g}}}$ 。

注意以上都是為了直觀理解方便所規定的簡寫，並不是斷定群的運算必然跟一般实数的加減乘除一模一樣。

群同態^[g]是保持群結構的函數。兩個群之間的函數 a: G → H 是同態，如果等式

a(g·k) = a(g)·a(k) 對于所有G中的元素g、k都成立，就是說在进行映射a之后還是之前進行群運算所得到的結果是一樣的。這個要求保证了 a(e_G) = e_H ，以及對于G中的所有g，都有 a(g)⁻¹ = a(g⁻¹) 。因此群同態保持了群公理提供的G的所有結構。[22]

兩個群G和H被稱為同構的，如果存在群同態 a: G → H 和 b: H → G ，使得先后（以兩種可能的次序中每個次序）應用兩個函數分別等于G和H的恒等函數。就是說，對于任何G中的g和H中h，有 a(b(h)) = h 和 b(a(g)) = g 。從抽象的觀點來看，同構的群携带了相同的信息。例如，证明對於G的某個元素g有 g·g = e_G ，等價於证明 a(g)·a(g) = e_H ，因為應用a於第一個等式得到第二個，而應用b於第二個得到第一個。

非正式的說，子群是包含在更大的群G內的一個群H。[23]具體的說，G的單位元包含在H中，并且只要h₁和h₂在H中，則h₁· h₂和h₁⁻¹也在其中，所以H的元素对于限制於H的G上的群運算确实形成了一个群。

在上面例子中，單位元和旋轉構成了一個子群 R = {id, r₁, r₂, r₃} ，在上面的群表中突出為紅色：任何兩個復合的旋轉仍是一個旋轉，并且旋轉可以被相反方向上的旋轉（它的逆元）所抵消。我们可以通过以下方法检验子集“H"是群G是子群 : 對于所有元素 g, h ∈ H ，只需檢查g⁻¹h ∈ H。了解子群族對于作為一個整體來理解群是重要的。^[d]

給定群G的任何子集S，由S所生成的子群是由S的元素和它們的逆元的乘積组成。它是包含S的G的最小子群。[24]在上面介紹例子中，r₂和f_v所生成的子群由這兩個元素本身、單位元id和 f_h = f_v·r₂ 構成。這還是個群，因為结合這四個元素或它們的逆元（在這個特殊情況下，是这些相同的元素）中任何兩個仍得到這個子群中的元素。

設 ${\displaystyle (G,*)}$ 為一個群，若 ${\displaystyle G}$ 裡面存在元素 ${\displaystyle g}$，使

${\displaystyle G=\left\{a{\big |}(\exists k\in \mathbb {Z} )(a=g^{k})\right\}}$

則稱 ${\displaystyle (G,*)}$ 為一個循環群。

在很多情況下，需要認為兩個群元素是等同的，如果它們只差一個给定子群中的元素。例如，在上述D₄中，一旦進行了翻轉，只进行旋轉運算（不再进行翻轉）正方形就永遠不能回到r₂的构型，就是說旋轉運算對于是否已經進行了翻轉的問題是無關緊要的。陪集可用來把這種现象形式化：子群H定義了左陪集和右陪集，它們可以認為是把H平移了一个任意群元素g。用符號表示，H的包含g的左和右陪集分別是

gH = {gh, ${\displaystyle h\in H}$}和Hg = {hg, ${\displaystyle h\in H}$}。[25]

任何子群H的陪集形成了G的一个劃分；就是說所有左陪集的并集与G相等，而且兩個陪集要么相等，要么有空的交集。[26]第一種情況 g₁H = g₂H 出現當且僅當g₁⁻¹g₂ ∈ H，就是說如果這兩個元素差異了H的一個元素。類似的考慮也適用於H的右陪集。H的左和右陪集可以相等也可以不相等。如果它們相等，就是說對于所有G中的g有gH = Hg，則H被稱為正規子群。

在前面介绍的對稱群D₄中，由旋轉構成的子群R的左陪集gR要么等于R，如果g是R自身的一個元素；要么等于 U = f_vR = {f_v, f_d, f_h, f_c} （用綠色突出）。子群R還是正規的，因為 f_vR = U = Rf_v 且對于任何f_v以外的元素也是類似的。

有时在由陪集形成的集合上可以赋予一个满足群公理的运算而使之成为商群或因子群。这仅在子群是正规的时候才可行。給定任何正規子群N，商群定義為

G / N = {gN, ${\displaystyle g\in G}$}，“${\displaystyle G}$ 模 ${\displaystyle N}$”[27]

這個集合從最初的群G 繼承了一個群運算（有時叫做陪集乘法或陪集加法）：對于所有G 中的g 和h， (gN)· (hN) =（gh）N 。這個定義是由關聯任何元素g到它的陪集 gN 的映射G → G / N是群同態的想法（自身是上面提出的一般結構性考慮的一個實例）所激發的，或者是叫做泛性質的一般抽象考慮。陪集 eN = N 充當了這個群的單位元，在商群中gN 的逆元是 (gN)⁻¹ =（g⁻¹）N。 ^[e]

商群D₄ / R的元素是代表單位元的R 自身和 U = f_vR 。商群上的群運算如右側所示。例如， U·U = f_vR·f_vR =（f_v·f_v）R = R 。子群 R = {id, r₁, r₂, r₃} 和對應的商群都是阿貝爾群，而D₄不是阿貝爾群。通過较小的群构造较大的群，例如從子群R 和商群D₄ / R构造D₄，被抽象為叫做半直積的概念。

商群和子群一起形成了用它的展示描述所有群的一種方法：任何群都是這個群的生成元上的自由群模以“關係”子群得到的商群。例如，二面體群D₄可以由兩個元素 r 和 f 生成（比如r = r₁右旋，和 f = f_v 垂直）或任何其他）翻轉），這意味著正方形的所有對稱都是這兩個對稱或它們的逆元的有限復合。与關係在一起

r ⁴ = f ² = (rf )² = 1,[28]

這個群就完全描述出來了。群的展示還可以被用來構造凱萊圖，它是一种利用图形来辅助理解离散群的工具。

子群和商群以下列方式相互關聯：G 的子集H 可以被看作單射H → G，就是說任何目標元素都有最多一個映射到它的元素。單射的對立是滿射（所有目標的元素都被映射到了），比如規范映射G → G / N。^[y]通过這些同態理解子群和商群強調了這些定義中內在的結構性概念。一般的說，同態既不是單射也不是滿射。群同態的核與像和第一同構定理研究這個現象。

如果同一個群中的兩個元素p 和q 滿足關係：p = x⁻¹qx，其中x 也是同一個群中的元素，則稱元素p 和q 共軛。共軛关系是一个等价关系，即它满足三个性质：共軛是自反的、对称的和傳遞的。

在群中可以找到一個集合，這個集合中每一個元素都相互共軛，而在這個集合以外群的其他部分已經沒有任何元素與他們具有共軛關係了。稱这种集合為群中的一個共軛類。同一個群的兩個類之間一定沒有共同的元素。群中一個元素一定屬於且僅屬於一個類。如果群中沒有元素與該元素共軛，則該元素自成一類。

群中元素個數稱為群G的階，記為|G|[29]

子群的階能整除這個群的階[30]

很多數系統，比如整數和有理數享有自然給予的群結構。在某些情況下比如對于有理數，加法和乘法運算二者都引發群結構。這種系統是叫做環和的更一般的代數結構的前身。

整數Z在加法下的群记為（Z, +），它在上面已經描述了。整數帶有用乘法替代加法的運算，(Z, ·)不形成群。閉合、結合律和單位元公理滿足，但逆元不存在：例如， a = 2 是整數，但方程 a·b = 1 的唯一解在這種情況下是b = 1/2，它是有理數而非整數。因此不是所有Z的元素都有（乘法）逆元。^[k]

對乘法逆元存在的要求建议了考慮分式

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$。

整數的分式（要求b非零）叫做有理數。^[l]所有這種分數的集合通常記為Q。對于有理數帶有乘法(Q,·),成為群仍有一個小障礙：因為有理數0沒有乘法逆元（就是說沒有x使得 x·0 = 1 ），(Q, ·)仍然不是群。

但是，所有非零有理數的集合 Q\{0} = {q ∈ Q, q ≠ 0} 形成一個在乘法下的阿貝爾群，記為(Q\{0},·)。^[m]結合律和單位元公理從整數的性質中得出。閉合要求在去掉零之后仍成立，因為任何兩個非零有理數的乘積永遠不是零。最后，a/b的逆元是b/a，所以逆元公理也滿足。

有理數（包括0）在加法下也形成群。同時帶有加法和乘法運算產生更復雜的結構叫做環—如果同时除法总是可能的話（如在Q中）就是域，它在抽象代數中占據中心位置。群論理論因此位于這些實體的理論的底層部分。^[n]

對于任何素數p，模算術提供了整數模以p的乘法群。[35]群的元素是不能被p整除的整數模p的同余类，就是說兩個數被認為是等價的如果它們的差被p整除。例如，如果 p = 5 ，則精確地有四個群元素1, 2, 3, 4:排除了5的倍數而6和−4都等價于1。群運算給出為乘法。因此 4·4 = 1 ，因為通常意义下的乘積16等價於1,而5整除 16 − 1 = 15 。以上事实記為

16 ≡ 1（mod 5）。

p的首要作用是確保了兩個都不被p整除的整數的乘積也不被p整除，因此指示的同馀類的集合在乘法下閉合。^[o]單位元如平常的乘法群一樣是1，而結合律可以從整數的相應性質得出。最后，逆元公理要求給定不整除于p的整數a，存在一個整數b使得

a · b ≡ 1（mod p），就是說p整除a·b − 1的差。

逆元b可以使用貝祖等式和最大公約數gcd(a, p)等于1的事實找到。[36]在上述 p = 5 的情況下，4的逆元是4，3的逆元是2，因為 3·2 = 6 ≡ 1 (mod 5) 。所有的群公理都滿足。實際上，這個例子類似于上述（Q\{0},·），因為它是在有限域F_p中非零元素的乘法群，記為F_p^×。[37]這些群對于公开密钥加密是至關重要的。^[p]

單位一的六次複數根形成一個循環群。z是本原元而z²不是，因為z的奇數冪不是z²的冪。

循環群是其所有元素都是特定元素a的冪的群（在群運算被寫為加法的時候使用術語倍數）。[38]在乘法符號下，群的元素是：

..., a⁻³, a⁻², a⁻¹, a⁰ = e, a, a², a³, ...,

這裡的a²意味著a·a，而a⁻³表示a⁻¹·a⁻¹·a⁻¹=(a·a·a)⁻¹等等。^[h]這個元素a叫做這個群的生成元或本原元。

這類群的典型例子是單位一的n次複數根，由滿足 zⁿ = 1 的複數z给出，其運算為乘法。[39]任何有n個元素的循環群同構於這個群。使用某些域論，群F_p^×可以被證明為是循環群：對于 p = 5, 3是生成元因為 3¹ = 3, 3² = 9 ≡ 4, 3³ ≡ 2, 而 3⁴ ≡ 1 。無限循環群同構於（Z, +），它是前面介紹的整數在加法下的群。[40]因為這兩個原型都是阿貝爾群，所以任何循環群都是。

阿貝爾群包括有限生成阿貝爾群的基本定理的研究是非常成熟的；對這個事態的反映是很多有關群論的概念，比如中心和交換子，描述了一個給定群不是阿貝爾群的程度。[41]

對稱群是由給定數學對象的對稱組成的群，對稱源于它們的幾何本性（比如前面介紹的正方形的對稱群）或源于代數本性（比如多項式方程和它们的解）。[42]概念上說，群論可以被認為是對稱性的研究。^[t] 數學中的對稱性極大的簡化了幾何或分析對象的研究。群被稱為作用於另一個數學對象X上，如果所有群元素進行某個在X上的運算兼容於群定律。在下面最右側例子中，7階的（2,3,7）三角群的一個元素通過置換突出的彎曲的三角形作用在鑲嵌上（其他的元素也是）。通過群作用，群模式被連接到了所作用到的對象的結構上。

旋轉和翻轉形成一個大二十面體的對稱群。

在化學領域中，比如晶體學、空間群和點群描述分子對稱性和晶體對稱性。這些對稱性位于這些系統的化學和物理表現的底層，而群論使簡化對這些性質的量子力學分析成为可能。[43]例如，群論被用來證實在特定量子級別間不出現光學躍遷簡單的因為涉及到了狀態的對稱性。

群不只對評定在分子中蘊含的對稱性有用，而且令人驚奇的它們還可以預測出分子的對稱性有时候可以改变。姜-泰勒效应是高對稱的分子的變形，此時，在通過分子的對稱運算相互關聯的一組可能基態中，该分子将采纳一個特定的低對稱的基態。[44][45]

同樣的，群論還可以幫助預測在物質經歷相變的時候出現的物理性質的變更，比如晶體形式從立方體變為四面體。一個例子是鐵電物質，這裡從順電到鐵電狀態的變更出現在居里溫度時，與從高對稱順電狀態到低對稱鐵電狀態的變更有關，并伴隨著所謂的軟聲子模式，它是在變化時轉到零頻率的振動晶格模式。[46]

這種自發對稱性破缺在基本粒子物理中找到了進一步應用，這裡它的出現与戈德斯通玻色子的出現有关。

富勒烯展现了二十面體對稱。	氨NH3。它的對稱群是6階的，用120°旋轉和反射生成的。	立方烷C8H8刻畫了八面體對稱。	六水合銅（II）配合物[Cu(OH2)6]2+。相較于完美的對稱形狀，分子垂直膨脹大約22%（姜-泰勒效应）。	（2,3,7）三角群是雙曲群，它作用在這個雙曲面的鑲嵌上。

有限對稱群比如马蒂厄群被用于編碼理論中，它又用于傳輸數據的糾錯和CD播放器中。[47]另一個應用是微分伽羅瓦理論，它刻畫有已知形式的不定積分的函數，給出何時特定微分方程的解有良好表現的群論判定標準。^[u]在群作用下保持穩定的幾何性質在幾何不變量理論中研究。[48]

兩個向量（左側展示），和它們乘以矩陣之后（中間和右側展示）。中間的表示了順時針旋轉90°，而右側的再按因子2伸縮了x坐標。

矩陣群由矩陣加上矩陣乘法一起構成。一般線性群 GL(n, R) 由所有可逆的n乘n的帶有實數元素的矩陣構成。[49]它的子群被稱為矩陣群或線性群。上面提及的二面體群例子可以被看作（非常小的）矩陣群。另一個重要矩陣群是特殊正交群SO(n)。它描述了n維的所有可能旋轉。通過歐拉角，旋轉矩陣被用于計算機圖形學中。[50]

表示理論是對群概念的應用并且對深入理解群是很重要的。[51][52]它通過群作用於其他空間來研究群。一類廣泛的群表示是線性表示，就是說群作用在線性空間中，比如三維歐幾里得空間R³。G在n-維實向量空間上的表示簡單的是從群到一般線性群的群同態

ρ: G → GL(n, R)。

以這種方式，抽象給出的群運算被轉換成用明確的計算可觸及到的矩陣乘法。^[w]

給定一個群作用，這給出了研究所作用的對象的進一步方法。^[x]在另一方面，它還產生了關于群的信息。群表示是在有限群、李群、代數群和拓撲群特別是（局部）緊群理論中的起組織作用的原則。[51][53]

伽羅瓦群是通过对求解多項式方程的过程中涉及到的对称性的研究而被发展起来的。[54][55]例如，二次方程 ax² + bx + c = 0 的解給出為

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$。

對換表達式中的"+"和"−"，也就是置換方程的兩個解可以被看作（非常簡單的）群運算。類似的公式對於三次方程和四次方程也有，但是對於五次方程和更高次的方程就不普遍性的存在。[56]与多項式相关联的伽羅瓦群的抽象性質（特別是它們的可解性）給出了那些多項式的所有解都可用根式表達的判定標準，就是說這些解可以類似上面公式那樣只使用加法、乘法和方根來表達。[57]

這個問題可以使用域論來處理：考慮一個多項式的分裂域就把問題轉移到了域論的領域中了。現代伽羅瓦理論把上述類型的伽羅瓦群推廣到了域擴張，并通過伽羅瓦理論基本定理建立了在和群之間的嚴格關聯，再次凸顯了群在數學中無所不在。

数学家们常常为寻求一种数学对象的完备的分类（或列表）而努力。并且这种分类是十分有用的: 如果有限群有一个完备的列表, 假设我们需要证明定理P时, 如果可以一步一步证明定理对列表中给出的群成立, 那我们即可证明定理P在有限群的领域内成立。这个目标迅速引出了一系列困难而意义深远的数学问题。
根据拉格朗日定理，p阶有限群（p为素数）必定是循环（阿贝尔群）群Z_p。
p²阶群也被证明是阿贝尔群。但这一命题并不能推广到p³阶群，如上面的非阿贝尔群——8阶二面体群D₄所示，其中8 = 2³。[59]可以利用计算机代数系统来给较小的群列表，但没有对一切有限群的分类。^[q] 一个中间步骤是有限单群分类。^[r]如果一个非平凡群仅有的正规子群是平凡群和它自身，那么这个群叫做一个单群或简单群。^[s]合成列说明单群可以作为建构有限群的“砖块”。[60] 有限单群分类是当代群论的一个主要成就。1998年的菲尔兹奖得主理查德·博赫兹成功地证明了怪兽月光理论。该猜想指出了有限单群中分类中的最大的散在群——“怪兽群”与一种来自经典复分析和弦理论（一种被认为统一了对许多物理学现象的描述的理论）的对象模函数之间的惊人而深刻的联系。[61]

在複平面中的單位圓在複數乘法下是李群，所以是拓撲群。它是拓撲的因為複數乘法和除法是連續的。它是流形并因此是李群，因為所有小段比如在圖中的紅色圓弧，看起來像（顯示在底下的）實數線的一部分。

某些拓撲空間可以配備上群结构。為了讓群公理與拓撲交織良好，群運算必須是連續函數，就是說如果g和h只變化很小，那么g·h,和g⁻¹必須變化不大。這種群叫做拓撲群，并且它們是在拓撲空間范疇內的群對象。[62]最基本的例子是實數R在加法之下(R\{0},·)，任何其他拓撲比如複數或p進數也是類似。所有這些群都是局部緊拓撲群，所以它們有哈尔测度并可以通過調和分析來研究。前者提供了不變積分的抽象形式化。以實數情況为例，不变性意味着有：

${\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f(x+c)\,dx}$

對於任何常數c成立。在這些上的矩陣群也属于这种结构下，賦值向量環和賦值向量代數群也是如此，它們對數論是基礎性的。[63]無限域擴張的伽羅瓦群比如絕對伽羅瓦群也可以配備上拓撲，叫做Krull拓撲，它又是推廣上面概述的和群的連接到無限域擴張的中心概念。[64]適應代數幾何需要的這個想法的高級推廣是étale基本群。[65]

李群（为纪念索菲斯·李而命名）是具有流形結構的群，就是說它們是局部上看起來像某個適當維度的歐幾里得空間的空間。[66]這裡，作为額外結構的流形結構也必須是兼容的，就是說對應於乘法和求逆的映射必須是光滑的。

標準例子是上面介紹的一般線性群：它是所有${\displaystyle n\times n}$矩陣的空間的開子集，因為它由不等式

det (A) ≠ 0，

給出。這裡的A指示${\displaystyle n\times n}$矩陣。[67]

李群在物理中是基礎性的：诺特定理把連續對稱与守恒定律关联起来。[68]在空間和時間中旋轉和平移不变性是力學定律的基本對稱。它們可以被用來構造簡單的模型——比如在一種狀況下實施軸對稱常常會導致在解用來提供物理描述的方程上的重大簡化。^[v]另一個例子是，它有關於兩個相互運動的觀察者的時間和速度的測量。它們可以用純群論方式推演，通過把變換表達為闵可夫斯基時空的旋轉對稱。在忽略萬有引力的情況下，后者充當了狹義相對論的時空模型。[69]闵可夫斯基時空的完全對稱群，就是說包括了平移，叫做庞加莱群。通過上述联系，它在狹義相對論中扮演了關鍵角色，并隐含地用于量子場論。[70] 隨位置變化的對稱与規范場論一起构成现代物理对相互作用的描述的中心。[71]