交错级数判别法

给定数列前 ${\displaystyle (2n+1)}$ 项的部分和 ${\displaystyle S_{2n+1}=a_{0}+\left({-a_{1}+a_{2}}\right)+\left({-a_{3}+a_{4}}\right)+\ldots +\left({-a_{2n-1}+a_{2n}}\right)-a_{2n+1}}$．由于每个括号内的和非正，并且 ${\displaystyle a_{2n+1}\geq 0}$ ，那么前 ${\displaystyle (2n+1)}$ 项的部分和不大于 ${\displaystyle a_{0}}$.

并且每个部分和可写做 ${\displaystyle S_{2n+1}=\left({a_{0}-a_{1}}\right)+\left({a_{2}-a_{3}}\right)+\ldots +\left({a_{2n}-a_{2n+1}}\right)}$．每个括号内的和非负．因此，级数 ${\displaystyle S_{2n+1}}$ 单调递增：对任何 ${\displaystyle n\in N}$ 均有：${\displaystyle S_{2n+1}\leq S_{2n+3}}$.

结合以上两段论述，由单调收敛定理可得，存在数 ${\displaystyle s}$ 使得 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{2n+1}=s}$.

由于 ${\displaystyle S_{2n}=S_{2n+1}-a_{2n+1}}$ 并且 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ ，那么 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{2n}=s}$．给定数列的和为 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{2n}=\lim _{n\to \infty }S_{2n+1}=s}$ ，其中 ${\displaystyle s}$ 为有限数，从而数列收敛．

在收敛性的证明过程中，我们发现${\displaystyle S_{2n+1}}$是单调递增的．由于${\displaystyle S_{2n}=a_{0}+\left(-a_{1}+a_{2}\right)+\ldots +\left(-a_{2n-1}+a_{2n}\right)}$，并且括号中的每一项是非正的，这样可知${\displaystyle S_{2n}}$是单调递减的．由先前的论述，${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{2n}=L}$，因此${\displaystyle S_{2n}\geq L}$．类似的，由于${\displaystyle S_{2n+1}}$是单调递增且收敛到${\displaystyle L}$，我们有${\displaystyle S_{2n+1}\leq L}$．因此我们有${\displaystyle S_{2n+1}\leq L\leq S_{2n}}$对所有的n均成立．

因此如果k是奇数我们有${\displaystyle |L-S_{k}|=L-S_{k}\leq S_{k+1}-S_{k}=a_{k+1}\leq a_{k}}$，而如果k是偶数我们有${\displaystyle |L-S_{k}|=S_{k}-L\leq S_{k}-S_{k-1}=a_{k}}$．