级数

如果级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$中的各项可以是正数，负数或零，则级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$称为任意项级数。 将任意项级数各项${\displaystyle u_{n}}$取绝对值，得到正项级数。 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|=|u_{1}|+|u_{2}|+|u_{3}|+\cdots +|u_{n}|+\cdots }$

如果任意项级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$收敛，而级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|}$发散，则称级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$条件收敛。

如果级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|}$收敛，则称级数绝对收敛

定理：如果任意项级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$的各项的绝对值所组成的正项级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|}$收敛，则级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$收敛。

证明：

令 ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2}}(|u_{n}|+u_{n}),b_{n}={\frac {1}{2}}(|u_{n}|-u_{n})}$ 于是，有 ${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq |u_{n}|,0\leq b_{n}\leq |u_{n}|}$ 因为${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$,${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$均为正项级数，且${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|}$收敛，由比较审敛法知，级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$和${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$收敛。 又因为${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-b_{n})}$,所以由级数的定义可得，级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$收敛。 该定理表明，如果级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$绝对收敛，则级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$必收敛。

14世纪时，马德哈瓦已经开始讨论判别无穷级数敛散性的方法。他提出了一些审敛的准则，后来他的学生将其推广。

然而在欧洲，审查无穷级数是否收敛的研究一般被认为是从19世纪由高斯开始的。他于1812年发表了关于欧拉的超几何级数

${\displaystyle 1+{\frac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}x+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+\cdots }$

的论文，提出了一些简单的收敛准则，并对余项和以及收敛半径进行了讨论。

柯西提出了严格的审敛法的重要性，他证明了两个收敛级数的乘积不一定是收敛的，同时开始研究严格的审敛准则。欧拉和高斯各自给出了各种审敛法则。柯西更研究了复函数的幂级数展开。

1826年，阿贝尔在他的关于二项式级数

${\displaystyle 1+{\frac {m}{1}}x+{\frac {m(m-1)}{2!}}x^{2}+\cdots }$

的论文中更正了柯西的若干个结论，并给出了二项式级数的严格的求和方法，指出了连续性在收敛问题中的重要性。

柯西提出的审敛法并不是普遍适用的，只能用于判别某些特定函数的敛散性。同时代的其他数学家，比如拉贝（Joseph Ludwig Raabe）的对数判别法，德·摩根的对数判别法（被 DuBois-Reymond和普林斯海姆证明对某些函数失效） ，以及贝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的审敛法也是如此。

对普遍的审敛法则的研究由恩斯特·库默尔开始，之后的艾森斯坦、维尔斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力于这一领域。普林斯海姆于1889年发表的论文阐述了完整的普适审敛理论。

1821年，柯西首先开始对一致连续性的研究，但其中有不少错误和局限。这些错误最早被阿贝尔指出，但首先得出正确结论的是西德尔和斯托克斯。1853年，柯西在注意到阿贝尔的批评后重新开展研究，并得到了与斯托克斯一样的结论。然而，一致连续性的重要性在很长一段时间裡没有受到重视。

几何级数（或等比级数）是指通项为等比数列的级数，比如：

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}=2}$

一般来说，几何级数${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$收敛当且仅当${\displaystyle \left\vert z\right\vert <1}$。

调和级数是指通项为${\displaystyle {1 \over n}}$的级数：

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}}$

它是发散的。

${\displaystyle p}$-级数是指通项为${\displaystyle {\frac {1}{n^{p}}}}$的级数：

${\displaystyle U_{p}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}$

对于实数值的${\displaystyle p}$，当${\displaystyle p>1}$时收敛，当${\displaystyle p\leq 1}$时发散。这可以由积分比较审敛法得出。

函数${\displaystyle \zeta :p\mapsto U_{p}}$是黎曼ζ函數在实轴大于1的部分的限制，关于黎曼${\displaystyle \zeta }$函數有著名的黎曼猜想。 特別地，當${\displaystyle p=1}$時，${\displaystyle p}$-級數即為調和級數。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})}$

收敛当且仅当数列${\displaystyle b_{n}}$收敛到某个极限${\displaystyle L}$，并且这时级数的和是${\displaystyle b_{1}-L}$。

泰勒级数是关于一个光滑函数${\displaystyle f}$在一点${\displaystyle a}$附近取值的级数。泰勒函数由函数在点${\displaystyle a}$的各阶导数值构成，具体形式为：

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$

这是一个幂级数。如果它在${\displaystyle a}$附近收敛，那么就称函数${\displaystyle f}$在点${\displaystyle a}$上是解析的。

具有以下形式的级数

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!}$

其中所有的${\displaystyle a_{n}}$非负，被称作交错级数。交错级数的收敛通常要借助莱布尼茨判别法。

形同${\displaystyle \sum a_{n}(x-x_{0})^{n}}$的函数项无穷级数称为${\displaystyle x-x_{0}}$的幂级数。它的收敛与否和系数${\displaystyle a_{n}}$有关。

任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，称为傅里叶级数。傅里叶级数是函数项无穷级数，也就是说每项都是一个函数。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

例如，周期为${\displaystyle 2\pi }$的周期函数${\displaystyle f(x)}$可以表示为：

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx),n=1,2,3,\ldots }$

其中，${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx}$，${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx}$，特别的，${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)dx}$

若通项为实数的无穷级数${\displaystyle \sum u_{n}}$每一项${\displaystyle u_{n}}$都大于等于零，则称${\displaystyle \sum u_{n}}$是一正项级数。

如果无穷级数 ${\displaystyle \sum u_{n}}$ 是正项级数，则部分和${\displaystyle S_{n}}$是一个单调递增数列。由数列极限的判别准则：单调有界数列必有极限。因此，倘若部分和数列S_n有界，${\displaystyle \sum u_{n}}$收敛，且${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=s}$ ;反之，若部分和数列趋于正无穷，级数发散。

设${\displaystyle \sum u_{n}}$ 和 ${\displaystyle \sum v_{n}}$是正项级数。

如果存在正实数${\displaystyle M}$，使得从若干项开始，${\displaystyle u_{n}\leq Mv_{n}}$（也就是说${\displaystyle u_{n}=O_{\infty }(v_{n})}$），则

• 当${\displaystyle \sum v_{n}}$ 收敛时，可推出 ${\displaystyle \sum u_{n}}$ 也收敛。
• 当${\displaystyle \sum u_{n}}$ 发散时，可推出 ${\displaystyle \sum v_{n}}$ 也发散。

如果${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{u_{n} \over v_{n}}=0}$，则

• 当${\displaystyle \sum v_{n}}$ 收敛时，可推出 ${\displaystyle \sum u_{n}}$ 也收敛。
• 当${\displaystyle \sum u_{n}}$ 发散时，可推出 ${\displaystyle \sum v_{n}}$ 也发散。

如果${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{u_{n} \over v_{n}}=1}$或其它有限数，则${\displaystyle \sum v_{n}}$ 和${\displaystyle \sum u_{n}}$ 同时收敛或发散。

比如，我们已知级数：${\displaystyle \sum {1 \over n^{2}}}$收敛，则级数：${\displaystyle \sum {|\sin n| \over n^{2}}}$也收敛，因为对任意的${\displaystyle n}$，${\displaystyle \sin n\leq 1}$。

比较判别法的特点是要已知若干级数的敛散性。一般来说，我们可以选择比较简单的级数：${\displaystyle U_{p}=\sum {1 \over n^{p}}}$作为“标准级数”，依此判断其他函数的敛散性。需要知道的是当${\displaystyle p\leq 1}$时，${\displaystyle U_{p}}$发散，当${\displaystyle p>1}$时，${\displaystyle U_{p}}$收敛。

在比较判别法中，如果取几何级数为比较的标准级数，可得：

设${\displaystyle \sum u_{n}}$是通项大于零的正项级数。并且${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{u_{n+1} \over u_{n}}=p}$，则

• 当${\displaystyle p<1}$ 时，级数${\displaystyle \sum u_{n}}$收敛。
• 当${\displaystyle p>1}$ 时，级数${\displaystyle \sum u_{n}}$发散。
• 当${\displaystyle p=1}$ 时，级数${\displaystyle \sum u_{n}}$可能收敛也可能发散。

这个判别法也称为比值判别法或比值审敛法。

设 ${\displaystyle \sum u_{n}}$ 是正项级数。并且${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{u_{n}}}=p}$，则

• 当${\displaystyle p<1}$时，级数 ${\displaystyle \sum u_{n}}$ 收敛。
• 当${\displaystyle p>1}$时，级数 ${\displaystyle \sum u_{n}}$ 发散。
• 当${\displaystyle p=1}$时，级数 ${\displaystyle \sum u_{n}}$ 可能收敛也可能发散。

这个判别法也称为根值判别法或根值审敛法'。

具有以下形式的级数

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!}$

其中所有的${\displaystyle a_{n}}$非负，被称作交错级数。

在上述的级数${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!}$中，如果当${\displaystyle n}$趋于无穷时, 数列${\displaystyle a_{n}}$的极限存在且等于 0，并且每个${\displaystyle a_{n}}$小于${\displaystyle a_{n-1}}$（即, 数列${\displaystyle a_{n}}$是单调递减的），那么级数收敛。

对于通项为任意实数的无穷级数${\displaystyle \sum u_{n}}$，将级数${\displaystyle \sum |u_{n}|}$称为它的绝对值级数。可以证明，如果${\displaystyle \sum |u_{n}|}$收敛，那么 ${\displaystyle \sum u_{n}}$也收敛，这时称 ${\displaystyle \sum u_{n}}$绝对收敛。如果${\displaystyle \sum u_{n}}$收敛，但是${\displaystyle \sum |u_{n}|}$发散，则称${\displaystyle \sum u_{n}}$条件收敛。比如说，级数${\displaystyle \sum {\sin n \over n^{2}}}$绝对收敛，因为前面已经证明 ${\displaystyle \sum {|\sin n| \over n^{2}}}$收敛。而级数${\displaystyle \sum {(-1)^{n} \over n}}$是条件收敛的。它自身收敛到${\displaystyle \ln {1 \over 2}}$，但是它的绝对值级数${\displaystyle \sum {1 \over n}}$是发散的。

黎曼级数定理说明，如果一个无穷级数${\displaystyle \sum u_{n}}$条件收敛，那么对于任意的实数${\displaystyle x}$，存在一个正整数到正整数的双射${\displaystyle \sigma }$，使得级数${\displaystyle \sum u_{\sigma (n)}}$收敛到 ${\displaystyle x}$。对于正负无穷大，上述双射也存在。

对区间${\displaystyle {\mathcal {I}}}$上的每个 ${\displaystyle x_{0}}$，级数 ${\displaystyle \sum u_{n}(x_{0})}$是常数项级数。若 ${\displaystyle \sum u_{n}(x_{0})}$收敛，则称${\displaystyle x_{0}}$是${\displaystyle \sum u_{n}(x)}$的一个收敛点，${\displaystyle \sum u_{n}(x)}$全体收敛点的集合称为它的收敛域。若 ${\displaystyle \sum u_{n}(x_{0})}$发散，则称${\displaystyle x_{0}}$是${\displaystyle \sum u_{n}(x)}$的一个发散点，${\displaystyle \sum u_{n}(x)}$全体发散点的集合称为它的发散域。${\displaystyle \sum u_{n}(x)}$在其收敛域的每一点上都有定义，因此定义了一个函数，称为${\displaystyle \sum u_{n}(x)}$的和函数，记为${\displaystyle S(x)}$。按照定义，${\displaystyle S(x_{0})=\lim _{n\to \infty }S_{n}(x_{0})}$，其中${\displaystyle S_{n}(x_{0})=u_{1}(x_{0})+u_{2}(x_{0})+\cdots +u_{n}(x_{0})}$为函数项级数在${\displaystyle x_{0}}$点上的部分和。

函数项级数的取值可以在它的收敛域上用和函数定义，但和函数的性质可能会和级数的每一项不同。比如说，当函数项级数${\displaystyle \sum u_{n}(x)}$中的每一项${\displaystyle u_{n}(x)}$在收敛域上都是连续函数时，和函数未必会是连续函数。以下是一个例子：

设${\displaystyle \displaystyle u_{n}(x)=x^{n}-x^{n+1}}$，也就是说${\displaystyle \displaystyle u_{0}(x)=1-x}$，${\displaystyle \displaystyle u_{1}(x)=x-x^{2}}$等等，它们显然都是连续函数（甚至是光滑函数）。这时函数项级数在${\displaystyle x}$ 点上的部分和${\displaystyle S_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(x^{k}-x^{k+1})=1-x^{n+1}}$。在区间${\displaystyle [0,1]}$的每一点上，部分和都有极限：

当${\displaystyle x\neq 1}$时，${\displaystyle S_{n}(x)\rightarrow 1}$

当${\displaystyle \displaystyle x=1}$时，${\displaystyle S_{n}(x)\rightarrow 0}$

于是在区间${\displaystyle [0,1]}$上，级数${\displaystyle \sum u_{n}(x)}$ 收敛，其和函数${\displaystyle S(x)}$为：

当${\displaystyle 0\leq x<1}$时，${\displaystyle S(x)=1}$；${\displaystyle S(1)=0}$。

这不是一个连续函数。

然而，如果函数项级数能够满足某些更严格的条件的话，可以证明级数的和函数的规则性将会等于每一项函数的规则性，这就是所谓的一致收敛性质。和函数列的一致收敛性质一样，函数项级数${\displaystyle \sum u_{n}(x)}$在某个区间${\displaystyle {\mathcal {I}}}$内（关于某个范数${\displaystyle \left\|\cdot \right\|}$）一致收敛的定义是它的部分和函数${\displaystyle S_{n}}$ 在区间${\displaystyle {\mathcal {I}}}$上一致收敛到和函数${\displaystyle S}$，

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left\|S-S_{n}\right\|_{\mathcal {I}}=0}$

或者写成${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left\|\sum _{k=n}^{\infty }u_{k}\right\|_{\mathcal {I}}=0}$

可以证明：

如果级数${\displaystyle \sum u_{n}(x)}$ 在区间${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ 内一致收敛，并且每个${\displaystyle u_{n}(x)}$ 都是连续函数，那么和函数${\displaystyle S}$ 在区间${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ 上也是连续函数。

进一步的，如果导函数级数的每一项都是${\displaystyle {\mathcal {C}}^{p}}$函数（${\displaystyle p}$阶连续可微函数），并且各阶导函数级数${\displaystyle \sum u_{n}(x),\sum u_{n}^{(1)}(x),\sum u_{n}^{(2)}(x),\ldots ,\sum u_{n}^{(p)}(x)}$在区间${\displaystyle {\mathcal {I}}}$内都一致收敛，那么级数和函数${\displaystyle S(x)=\sum u_{n}(x)}$ 也是${\displaystyle {\mathcal {C}}^{p}}$函数，并且：

${\displaystyle \forall 0\leq i\leq p}$ ，${\displaystyle S^{(i)}(x)=\sum u_{n}^{(i)}(x)}$。

函数项级数也有绝对收敛的概念。对于某个给定的区间${\displaystyle {\mathcal {I}}}$和范数${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {I}}}$，函数项级数${\displaystyle \sum u_{n}(x)}$在区间${\displaystyle {\mathcal {I}}}$内绝对收敛，当且仅当常数级数${\displaystyle \sum \left\|u_{n}\right\|_{\mathcal {I}}}$收敛。

绝对收敛的（连续？）函数在每一点都收敛，并且在区间${\displaystyle {\mathcal {I}}}$内一致收敛。

形同${\displaystyle \sum a_{n}(x-x_{0})^{n}}$的函数项无穷级数称为${\displaystyle x-x_{0}}$的幂级数。一般只需讨论形同${\displaystyle \sum a_{n}x^{n}}$的幂级数。

根据阿贝尔定理，它的收敛域是一个关于零对称的区间，即为${\displaystyle (-R,R)}$（可开可闭）的形式。这个正数${\displaystyle R}$（可以是无穷大）叫做幂级数的收敛半径。并有定理：

设幂级数${\displaystyle \sum a_{n}x^{n}}$满足${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{a_{n+1} \over a_{n}}=\rho }$，则：

• ${\displaystyle \rho }$是正实数时，${\displaystyle R={1 \over \rho }}$。
• ${\displaystyle \rho =0}$时，${\displaystyle R=\infty }$。
• ${\displaystyle \rho =\infty }$时，${\displaystyle R=0}$。

求解幂级数的和函数有时需要利用先对各项积分（或求导）以得到一个方便利用已有公式进行求和的形式，在求和后在对各项求导（或积分）。

• 同济大学数学系. 6. 高等教育出版社. 2007. ISBN 978-7-04-021277-8 （中文（中国大陆））.
• 北京大学数学科学学院. 2. 北京大学出版社 （中文（中国大陆））.