伽辽金法

我们通过一个抽象问题来引入伽辽金方法，将问题表示成在一个希尔伯特空间${\displaystyle V}$上的弱形式，也就是，求解${\displaystyle u\in V}$使得对于所有${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle a(u,v)=f(v)}$

成立。这里，${\displaystyle a(.,.)}$是一个双线性型表达式,即${\displaystyle a(u,v)=u^{T}av=f(v)}$，${\displaystyle f}$是一个${\displaystyle V}$上的线性形表达式。

选取一个n 维子空间${\displaystyle V_{n}\subset V}$，然后求解问题在子空间中的投影：求${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$使得对于所有${\displaystyle v_{n}\in V_{n}}$

${\displaystyle a(u_{n},v_{n})=f(v_{n}).}$

我们称这个方程为伽辽金方程。注意方程形式没有改变，但是求解域改变了。

这是使得伽辽金方法非常有效的关键性质。因为${\displaystyle V_{n}\subset V}$，我们可以取${\displaystyle v_{n}}$为原方程的一个试矢量。带入并相减，便得到误差的伽辽金正交性关系

${\displaystyle a(e_{n},v_{n})=a(u,v_{n})-a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})-f(v_{n})=0.}$

这里${\displaystyle e_{n}=u-u_{n}}$是真实解${\displaystyle u}$和伽辽金方程的解${\displaystyle u_{h}}$之间的误差。

因为伽辽金方法的目标是将问题简化为线性方程组，我们来构造它的矩阵形式，以便利用计算机进行数值求解。

令${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$为${\displaystyle V_{n}}$空间中的一组基。则显然依次选取这些基矢量作为伽辽金方程的试矢量是充分的，也即：求解${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$使得

${\displaystyle a(u_{n},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}$

用上述基矢量表示出${\displaystyle u_{n}}$：${\displaystyle u_{n}=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}$，将其代入上面的方程得到

${\displaystyle a(\sum u_{j}e_{j},e_{i})=\sum u_{j}a(e_{j},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}$

这样我们就得到了上面这组${\displaystyle Au=f}$型的线性方程组，式中

${\displaystyle a_{ij}=a(e_{j},e_{i}),\quad f_{i}=f(e_{i}).}$

由于矩阵项的定义，伽辽金方程的系数矩阵是对称矩阵的充要条件是双线性型表达式${\displaystyle a(.,.)}$是对称的。

因为${\displaystyle V_{n}\subset V}$，双线性型的有界性和椭圆性对于${\displaystyle V_{n}}$也成立。因此，伽辽金问题的适定性实际上继承自其原问题的适定性。

真实解和伽辽金解之间的误差${\displaystyle e_{n}=u-u_{n}}$有如下估计

${\displaystyle \|e_{n}\|\leq {\frac {C}{c}}\inf _{v_{n}\in V_{n}}\|u-v_{n}\|.}$

上式翻译成文字语言就是：伽辽金解${\displaystyle u_{n}}$的误差（和真实解${\displaystyle u}$的差）能控制在${\displaystyle V_{h}}$中最优解矢量的误差的${\displaystyle C/c}$倍以下（在量级上）。特别有用的是，从此对误差的估计可以只在空间${\displaystyle V_{n}}$中进行考虑，而完全不用回到求解的方程。

因为证明非常简单，并且是各种伽辽金法的基本原理依据，因此简单介绍如下： 根据双线性型的椭圆性和有界性（下式中的两个不等号），以及伽辽金法的正交性（下式中间的等号），我们对于任意${\displaystyle v_{n}\in V_{n}}$有：

${\displaystyle c\|e_{n}\|^{2}\leq a(e_{n},e_{n})=a(e_{n},u-v_{n})\leq C\|e_{n}\|\,\|u-v_{n}\|.}$

全式除以${\displaystyle c\|e_{n}\|}$并对所有可能的${\displaystyle v_{h}}$取下确界得到该引理。