有限元素法

单元（Element）是由节点组成的几何体，如三角形单元，四面体单元等。

节点（Node）是单元几何体的端点、顶点或特定点，单元的各物理量变化均体现在节点上，例如在弹性力学问题中，一个有两个节点的线单元的质量集中在两个节点上，受力也只能作用在节点上，变形也用节点的位移表示。

节点自由度（Degree of Freedom，簡寫 DoF），是节点上变量的个数，例如用位移法解结构问题时节点自由度为3，表示单个节点上三个坐标方向上的位移，又例如热分析时节点自由度为1，表示某个节点处的温度值。

网格（Mesh）是由多个单元通过共用节点组成的单元网络，用以表示待解问题域。

第一步是将问题P1和P2转化为他的等价变分形式，或弱解形式。

如果${\displaystyle u}$是问题P1的解，那么对任何满足边界条件的光滑函数${\displaystyle v}$ ,有

（1）${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)v(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}u''(x)v(x)\,\mathrm {d} x}$

相反如果 ${\displaystyle u}$对任何光滑函数${\displaystyle v(x)}$满足${\displaystyle u(0)=u(1)=0}$和（1），

那么${\displaystyle u}$是P1的解。对于二次可导函数${\displaystyle u}$证明这一点是非常容易的（利用中值定理）。

通过对（1）的右侧使用分部积分，可以得到

（2）${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}f(x)v(x)\,\mathrm {d} x&=\int _{0}^{1}u''(x)v(x)\,\mathrm {d} x\\&=u'(x)v(x)|_{0}^{1}-\int _{0}^{1}u'(x)v'(x)\,\mathrm {d} x\\&=-\int _{0}^{1}u'(x)v'(x)\,\mathrm {d} x=-\phi (u,v)\end{aligned}}}$

其中假设${\displaystyle v(0)=v(1)=0}$。

f當我們使用格林恆等式來表示式（2）， P2可以 ${\displaystyle u}$的積分型式表示，在此定義 ${\displaystyle \phi (u,v)}$

${\displaystyle \int _{\Omega }fv\,ds=-\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,ds\equiv -\phi (u,v),}$

此處 ${\displaystyle \nabla }$代表梯度，即為二維平面上的內積 。另外 ${\displaystyle \,\!\phi }$可以轉為内积空间 ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ ，且 ${\displaystyle \Omega }$的一次微分函數 ${\displaystyle \partial \Omega }$為零。我們也可以假設 ${\displaystyle v\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ （詳見索伯列夫空间） 也可以顯示解的存在性和唯一性。

在此在區間 ${\displaystyle (0,1)}$之中選擇 ${\displaystyle n}$個${\displaystyle x}$的可能值 ${\displaystyle 0=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}<x_{n+1}=1}$ 接著定義${\displaystyle V}$ 為：

${\displaystyle V=\{v:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} \;:v{\mbox{ is continuous, }}v|_{[x_{k},x_{k+1}]}{\mbox{ is linear for }}k=0,\dots ,n{\mbox{, and }}v(0)=v(1)=0\}}$

令e ${\displaystyle x_{0}=0}$ 和 ${\displaystyle x_{n+1}=1}$。觀察到在 ${\displaystyle V}$ 之中的函數根據微積分的基本定義是不可微分的。 當然，當 ${\displaystyle v\in V}$，則通常不定義 ${\displaystyle x=x_{k}}$，${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$的導數，但導數事實上存在於每一個${\displaystyle x}$的位置，並可以利用這些導數來進行部分積分運算。

兩種不同維度（二維及三維空間）的分段線性函數

${\displaystyle V}$ 是屬於 ${\displaystyle \Omega }$的一系列函數。 在右圖中，圖片下半部是一個15邊形的平面${\displaystyle \Omega }$的三角分割，以及該多邊形的分段線性函數（圖片上半部彩色部份），即 在三角分割所形成的每個三角形上呈線性； 空間${\displaystyle V}$則由在所在的三角分割的每個三角形上的函數線性組合而成。

我們希望當下面的三角形網格變得越來越精細，離散子問題（3）的解在某種意義上將收斂到原始邊界值問題P2的解。 為了測量此網格的細度，三角分割由一很小的實數${\displaystyle h>0}$所表示。此參數將與三角分割中最大或平均三角形的大小有關。 當我們提高三角分割的精度時（分割出更多三角形），分段線性函數的空間${\displaystyle V}$應會隨${\displaystyle h}$變動。因此，在某些文獻中會以${\displaystyle V_{h}}$來代表。