余切丛

设M×M是M与自己的笛卡尔积。对角映射Δ将M中的点p映到M×M中的点 (p,p)。像 Δ称为对角线。设${\displaystyle {\mathcal {I}}}$是M上光滑函数芽的层。那么商层${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$由高阶项为0的等价类组成。余切丛是这个层拉回到M：

${\displaystyle \Gamma T^{*}M=\Delta ^{*}({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}).}$

由泰勒定理，这是M一个上关于光滑函数芽层上的模的局部自由层。从而在M上定义了一个向量丛：余切丛。

余切丛上有一个标准的辛形式，它是一个重言1-形式的外微分。该1-形式赋予余切丛的切丛中的一个向量该余切丛中的元素(一个线性泛函)到应用该向量在切丛上的投影(从余切丛到原来的流形的投影的微分)上得到的值。要证明该形式确实是辛形式，可以利用辛形式是一种局部性质：因为余切丛局部平凡，该定义只需在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$上验证。而在这种情况下，该1-形式定义为${\displaystyle y_{i}dx_{i}}$之和，而其微分就是标准的辛形式，${\displaystyle dy_{i}{\land }dx_{i}}$之和。

若流形${\displaystyle M}$代表一个动力系统可能的位置的集合，则其余切丛${\displaystyle \!\,T^{*}\!M}$可以视为所有可能的位置和动量的组合的结合。例如，这是表述单摆的相空间的一个方法。单摆的状态由其位置(一个角度)及其动量(或者等效的有，其速度，因为其质量不变)来表示。这个状态空间看起来象一个圆柱面。该圆柱面是该圆圈的余切丛。上面构造的辛结构，和适当的能量函数一起就给出了一个确定的物理系统。更多细节参看哈密顿力学，参看测地流条目中的一个哈密顿运动方程的显式构造。