依赖类型

在全类（论域中全部类型构成的类型） ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 中给定一个类型 ${\displaystyle A:{\mathcal {U}}}$，存在着类型族 ${\displaystyle B:A\to {\mathcal {U}}}$ 为每一项 ${\displaystyle a:A}$ 赋予一个类型 ${\displaystyle B(a):{\mathcal {U}}}$。一个值域依赖于其参数的函数，称之为一个依赖类型函数，该函数的类型则称之为依赖类型、依赖乘积类型或Π-类型。在此例子中，依赖类型可以写作

${\displaystyle \Pi _{(x:A)}B(x)}$

或

${\displaystyle \Pi (x:A),B(x)}$

若B为常数，则依赖类型退化成一般形态的函数 ${\displaystyle A\to B}$。即 ${\displaystyle \Pi _{(x:A)}B}$ 等价于函数类型 ${\displaystyle A\to B}$。

被称之为“Π-类型”的原因是它可以被看作是类型的笛卡尔积。Π-类型同时也可被看作是全称量词的模型。

例如，${\displaystyle {\mbox{Vec}}({\mathbb {R} },n)}$表示实数的${\displaystyle n}$-元组类型，则 ${\displaystyle \Pi _{(n:{\mathbb {N} })}{\mbox{Vec}}({\mathbb {R} },n)}$ 表示这样的函数类型：给定一个自然数n，该函数返回一个大小为n的实数元组。一般的函数空间可以看作依赖型函数的一个特例，当函数返回值类型实质上并不依赖于输入时，如 ${\displaystyle \Pi _{(n:{\mathbb {N} })}\;{\mathbb {R} }}$ 即为从自然数到实数的函数类型，它可以在简单类型lambda演算中被写作 ${\displaystyle {\mathbb {N} }\to {\mathbb {R} }}$。

多态是依赖类型函数的一个重要实例。给定一个类型，函数作用于该类型的元素之上。一个返回元素类型为C的多态函数可能拥有如下的多态类型：

${\displaystyle \Pi _{(A:{\mathcal {U}})}A\to C}$

依赖函数类型的对偶是依赖值对类型（或依赖总和类型、Σ-类型）。它与余积或不交并的概念相类似。Σ-类型可以被理解成存在量词的模型。写作：

${\displaystyle \Sigma _{(x:A)}B(x)}$

依赖值对类型表示一个值对，其中第二项的类型依赖于第一项的值。若

${\displaystyle (a,b):\Sigma _{(x:A)}B(x)}$

则 ${\displaystyle a:A}$ 且 ${\displaystyle b:B(a)}$。若B为常数，则依赖值对类型退化为一般的乘积类型，即笛卡尔积 ${\displaystyle A\times B}$。

一阶依赖类型 ${\displaystyle \lambda \Pi }$，对应于逻辑框架 LF，是通过把简单类型lambda演算的函数空间一般化为依赖乘积类型而获得的。

二阶依赖类型 ${\displaystyle \lambda \Pi 2}$，通过允许对 ${\displaystyle \lambda \Pi }$ 类型构造子的量化得到。此时，依赖乘积类型涵括了简单类型lambda演算中的${\displaystyle \to }$与 系统F 中的${\displaystyle \forall }$。

高阶类型系统 ${\displaystyle \lambda \Pi \omega }$ 扩充了 ${\displaystyle \lambda \Pi 2}$，使之支持 Lambda 立方中的全部四种表达形式：从项到项的函数、从类型到类型的函数、从项到类型的函数、以及从类型到项的函数。这对应于构造演算（calculus of constructions），而构造演算则是证明辅助器 Coq 所基于的构造归纳演算[1]理论的基础。