倍立方

尺规可作性和规矩数

在研究各种尺规作图问题的时候，数学家们留意到，能否用尺规作出特定的图形或目标，本质是能否作出符合的长度。引进直角坐标系和解析几何以后，又可以将长度解释为坐标。比如说，作出一个圆，实际上是作出圆心的位置（坐标）和半径的长度。作出特定的某个交点或某条直线，实际上是找出它们的坐标、斜率和截距。为此，数学家引入了尺规可作性这一概念。假设平面上有两个已知的点O和A，以OA为单位长度，射线OA为x-轴正向可以为平面建立一个标准直角坐标系，平面中的点可以用横坐标和纵坐标表示，整个平面可以等价于${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$。

设E是${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$的一个非空子集。如果某直线${\displaystyle {\mathcal {l}}}$经过E中不同的两点，就说${\displaystyle {\mathcal {l}}}$是E-尺规可作的，简称E-可作。同样地，如果某个圆${\displaystyle {\mathcal {C}}}$的圆心和圆上的某个点是E中的元素，就说${\displaystyle {\mathcal {C}}}$是E-可作的。进一步地说，如果${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$里的某个点P是某两个E-可作的直线或圆的交点（直线－直线、直线－圆以及圆－圆），就说点P是E-可作的。这样的定义是基于五个基本步骤得来的，包括了尺规作图中从已知条件得到新元素的五种基本方法。如果将所有E-尺规可作的点的集合记作s(E)，那么当E中包含超过两个点的时候，E肯定是s(E)的真子集。从某个点集E₀开始，经过一步能作出的点构成集合E₁=s(E)，经过两步能作出的点就是E₂=s(E₁)，……以此类推，经过n步能作出的点集就是E_n=s(E_n-1)。而所有从E能尺规作出的点集就是：

${\displaystyle C(\mathrm {E} _{0})=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\mathrm {E} _{n}.}$[3]^:521

另一个与尺规可作性相关的概念是规矩数。设H是从集合E₀={(0,0), (0,1)}开始，尺规可作点的集合：${\displaystyle \mathrm {H} =C(\mathrm {E} _{0}),}$ 那么规矩数定义为H中的点的横坐标和纵坐标表示的数。

定义：实数a和b是规矩数当且仅当(a, b)是H中的一个点。[3]^:522

可以证明，有理数集${\displaystyle \mathbb {Q} }$是所有规矩数构成的集合K的子集，而K又是实数集${\displaystyle \mathbb {R} }$的子集。另外，为了在复数集${\displaystyle \mathbb {C} }$内讨论问题，也会将平面${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$看作复平面${\displaystyle \mathbb {C} }$，同时定义一个复数a+bi是（复）规矩数当且仅当点(a, b)是H中的一个点。所有复规矩数构成的集合L也包含${\displaystyle \mathbb {Q} }$作为子集，并且是复数集${\displaystyle \mathbb {C} }$的子集。从尺规可作性到解析几何下的规矩数，尺规作图问题从几何问题转成了代数的问题。[3]^:522

域的扩张与最小多项式

以集合的观念来说，L与${\displaystyle \mathbb {Q} }$、${\displaystyle \mathbb {C} }$之间是子集与包含的关系。以抽象代数的观点来说，可以证明L是有理数域${\displaystyle \mathbb {Q} }$的扩域，是实数域${\displaystyle \mathbb {C} }$的子域。记作${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathrm {L} \subseteq \mathbb {C} }$。域是抽象代数中的概念，是能够进行“加减乘除”运算的集合。从单位长度出发，很容易得到任何有理数长度的线段，所以直线OA（也就是实数轴）上所有的有理数坐标的点都是尺规可作点[1]。如果平面上还有另一个尺规可作点（对应复数z），那么也能做出任意pz+q的点，甚至于任何形如：

${\displaystyle {\frac {P_{1}(z)}{P_{2}(z)}}}$

的点（其中P₁和P₂是两个多项式）。有理数域${\displaystyle \mathbb {Q} }$和所有因为z而多出来的尺规可作点仍旧构成一个域，称为${\displaystyle \mathbb {Q} }$关于z的扩张，记作${\displaystyle \mathbb {Q} (z)}$。然而，${\displaystyle \mathbb {Q} (z)}$中的元素并没有表面上那么“多”。一般来说，如果有一个多项式P使得P(z)=0，那么${\displaystyle \mathbb {Q} (z)}$中的元素都可以写成λ₁+λ₂z+...+λ_dz^d-1的形式，其中d是P的阶数。这样的情况称为域${\displaystyle \mathbb {Q} }$的有限扩张，因为${\displaystyle \mathbb {Q} (z)}$可以看成关于${\displaystyle \mathbb {Q} }$的有限维线性空间。为了确定这个线性空间的维数，需要为它找一个基底，也就是一个线性无关的最小生成集。为此，寻找使得m(z)=0的多项式中阶数最小的，并称m是z最小多项式。在最小多项式确定后，便可确定1, z, ... , z^d_m-1是${\displaystyle \mathbb {Q} (z)}$的一个基底，${\displaystyle \mathbb {Q} (z)}$是一个d_m维的${\displaystyle \mathbb {Q} }$-线性空间（d_m是m的阶数）[4]^:68。这时候也称d_m是域扩张${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} (z)}$的阶数，记作：

${\displaystyle [\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=\mathrm {d} _{m}}$[3]^:512

规矩扩张的阶数

对任何一个尺规可作点，都可以考察它对应的域扩张的阶数。由于每个尺规可作点都是通过五种作图公法的有限次累加得到的，而其中生成新点（也就是新坐标）的只有後三种。所以只需考察这三种步骤得到的新点对应的域扩张的阶数。假设某个时刻，已知的所有尺规可作点构成的域是L，那么生成新点时的直线和圆的系数都在L里面。

直线的方程是：${\displaystyle ax+by+c=0,\quad a,b,c\in \mathrm {L} ,\qquad \qquad \cdots \;\;(1)}$

圆的方程是：${\displaystyle (x-c_{1})^{2}+(y-c_{2})^{2}=r^{2},\quad c_{1},c_{2},r\in \mathrm {L} .\qquad \qquad \cdots \;\;(2)}$

无论是两个(1)类方程，两个(2)类方程，还是一个(1)类和一个(2)类方程联立求解，得到的x和y值都会是形同

${\displaystyle {\begin{cases}x=p_{1}+q_{1}{\sqrt {t}}&p_{1},\;q_{1},\;t\;\in \mathrm {L} \\y=p_{2}+q_{2}{\sqrt {t}}&p_{2},\;q_{2}\;\in \mathrm {L} \end{cases}}}$

的数值。所以复规矩数z=x+yi满足一个二次方程：

${\displaystyle (z-(p_{1}+p_{2}i))^{2}=t(q_{1}+q_{2}i)^{2}}$

其中的p₁+p₂i、q₁+q₂i以及t都是L中的元素[3]^:523[4]^:78-79。这意味着，域扩张L⊆L(z)的阶数最多是2（最小多项式的阶数至多是2）[1]。这又说明，从L开始，经过一系列（n次）基本步骤得到的尺规可作点，代表了n次域扩张：

${\displaystyle \mathrm {L} \subseteq \mathrm {L} _{1}\subseteq \cdots \subseteq \mathrm {L} _{n}.}$

而每次域扩张的阶数：[L_k : L_k-1]都不超过2。因此，如果从基本的有理数域出发的话，就能得到如下的定理：[3]^:523-524[1]

任何复规矩数z对应的域扩张${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} (z)}$的阶数${\displaystyle [\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]}$都是2的某个幂次： ${\displaystyle [\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=2^{s}}$