尺规作图

作圖公法

以下是尺規作圖中可用的基本方法，也稱為作圖公法，任何尺規作圖的步驟均可分解為以下五種方法：

• 通過兩個已知點可作一直線。
• 已知圓心和半徑可作一個圓。
• 若兩已知直線相交，可得其交點。
• 若已知直線和一已知圓相交，可得其交點。
• 若兩已知圓相交，可得其交點。

古希臘三大難题是早期希臘数学家特别感兴趣的三个问题。由于我们的现代几何学知识是从希臘发源的，因此这三个古典几何问题在几何学中有着很高的地位。它们分别是：

化圆为方問題

求一个正方形的边长，使其面积与一已知圆的相等；

三等分角問題

求一角，使其角度是一已知角度的三分之一（可以用只有一點刻度的直尺與圓規作出）

倍立方問題

求一立方体的棱长，使其体积是一已知立方体的二倍（可以用木工的角尺作出）。

在欧几里得几何学的限制下，以上三个问题都不可能解决。

• 只使用直尺和圆规，作正五边形。
• 只使用直尺和圆规，作正六边形。
• 只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，而現在正七边形已被證明是不能由尺规作出的。
• 只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因為單用直尺和圓規，是不足以把一个角分成三等份的。
• 问题的解决：高斯大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的充分条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非負整數次方乘以任意个（可为0个）不同的费马素数的积，解决了兩千年来悬而未决的难题。
• 1832年，Richelot與Schwendewein給出正257邊形的尺規作法。
• 1900年左右，约翰·古斯塔夫·爱马仕花費十年的功夫用尺規作圖作出正65537邊形，他的手稿裝滿一大皮箱，可以說是最複雜的尺規作圖。

這道題只准许使用圆规，要求參與者将一个已知圆心的圆周4等分。這道題传言是拿破仑·波拿巴擬出，向全法国数学家挑战的。這道題已被證明有解。

• 1672年，喬治·莫爾（Georg Mohr）证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出，拿破崙問題就是一個例子。

• 只用直尺所能作的圖其實不多，但在已知一个圆和其圆心的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出。

• 生锈圆规作图，已知两点${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$，找出一点${\displaystyle C}$使得${\displaystyle AB=BC=CA}$。
• 已知两点${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$，只用半径固定的圆规，求作${\displaystyle C}$使${\displaystyle C}$是线段${\displaystyle AB}$的中点。
• 尺规作图，是古希臘人按“盡可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达。
  • 10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图。
• 從給定的兩點出發時，生鏽圓規作圖完全等價於尺規作圖。
• 但是，「從給定的兩點出發」這一條件必不可少，在有多個已知點的條件下，鏽規作圖的能力還有待研究。

• 將條件放寬，允許使用有刻度的直尺，可以三等分角或做出正七邊形等一般尺規做圖所做不到的事。

• 已知两条线段AB、AC，可以作出一条线段的长度等于两条线段长度之乘积AB×AC。

• C.a.R. （页面存档备份，存于） -Java程式
• GRACE （页面存档备份，存于） -在線Java程式
• Geometric Drawing Pad-在線Java程式
• Ruler & compass （页面存档备份，存于） -在線程式