倒單擺

若倒單擺的樞紐點固定無法移動，其運動方程會類似一般的單擺，但符號會有些不同。以下的運動方程假設沒有摩擦力，在運動時也沒有阻力，桿為剛體，沒有質量，而且運動限制在二维空间內。

${\displaystyle {\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =0}$

其中${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$是擺的角加速度，${\displaystyle g}$是地球表面的標準重力，${\displaystyle \ell }$是擺的長度，而${\displaystyle \theta }$是擺相對平衡位置的角度。

也可以計算角加速度如下：

${\displaystyle {\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta }$

倒單擺的角加速度會使擺遠離不穩定平衡的垂直位置，角加速度和長度成反比。長的倒單擺倒下的速度會比較慢。

假設倒單擺的擺由質量為${\displaystyle m}$的質點，接在長度為${\displaystyle \ell }$的剛體無質量桿上，擺的另一端是固定的樞紐點。

系統的淨力矩會等於轉動慣量和角加速度的乘積：

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }=I{\ddot {\theta }}}$

淨力矩是由重力產生的力矩：

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }=mg\ell \sin \theta \,\!}$

其中${\displaystyle \theta \ }$是擺相對平衡位置的角度。

所得的方程式為：

${\displaystyle I{\ddot {\theta }}=mg\ell \sin \theta \,\!}$

點質點的轉動慣量公式為：

${\displaystyle I=mR^{2}}$

在倒單擺的例子中，半徑為擺的長度${\displaystyle \ell }$。

將轉動慣量用${\displaystyle I=m\ell ^{2}}$來表示

${\displaystyle m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}=mg\ell \sin \theta \,\!}$

等號兩邊同除${\displaystyle \ell ^{2}}$，可得：

${\displaystyle {\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta }$

台車上倒單擺的圖，假設桿沒有質量，台車質量及擺的質量分別是M和m，桿的長度假設是${\displaystyle \ell }$

台車上的倒單擺包括質量為${\displaystyle M}$的台車,上面有可以轉動的桿，頂端有質量為${\displaystyle m}$的重物，台車的運動方向受到限制，只能在一個方向進行線性運動。

可以用拉格朗日力学推導運動方程。以右側的圖為準，其中的${\displaystyle \theta (t)}$是長度為${\displaystyle l}$的擺相對於垂直線的角度，而作用力是重力以及x方向的外力F。定義${\displaystyle x(t)}$是台車的位置，系統的拉格朗日量${\displaystyle L=T-V}$為：

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}Mv_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-mg\ell \cos \theta }$

其中${\displaystyle v_{1}}$是台車速度，${\displaystyle v_{2}}$是點狀質量${\displaystyle m}$的速度。 ${\displaystyle v_{1}}$及${\displaystyle v_{2}}$可以用x和${\displaystyle \theta }$來表示，其作法是將速度寫成位置的一階導數：

${\displaystyle v_{1}^{2}={\dot {x}}^{2}}$

${\displaystyle v_{2}^{2}=\left({\frac {d}{dt}}{\left(x-\ell \sin \theta \right)}\right)^{2}+\left({\frac {d}{dt}}{\left(\ell \cos \theta \right)}\right)^{2}}$

簡化${\displaystyle v_{2}}$的式子可得：

${\displaystyle v_{2}^{2}={\dot {x}}^{2}-2\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}}$

拉格朗日量為：

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}-m\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell \cos \theta }$

運動方程為：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {L} \over \partial {\dot {x}}}-{\partial {L} \over \partial x}=F}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0}$

替代式子中的${\displaystyle L}$，並且簡化，可以得到倒單擺的運動方程：

${\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =F}$

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta }$

上述式子是非線性的，不過因為目標是維持倒單擺直立，方程式可以在${\displaystyle \theta \approx 0}$附近線性化。

若用牛頓第二運動定律求解此問題，可以得到單擺和台車各部份的作用力，每一個物體都有二個方程式，分別是x方向及y方向。台車的運動方程如下，等號左邊是合力，等號右邊是質量及加速度。

${\displaystyle F-R_{x}=M{\ddot {x}}}$

${\displaystyle F_{N}-R_{y}-Mg=0}$

上式中${\displaystyle R_{x}}$和${\displaystyle R_{y}}$是樞紐點上的作用力，${\displaystyle F_{N}}$是台車受到的正向力。第二個式子只和垂直的作用力有關，因此可以用來求解正向力。第一個式子可以用求解水平的作用力。為了完成以上的方程，需要計算擺的加速度，若在慣性坐標下，點質量的位置是

${\displaystyle {\vec {r}}_{P}=(x-\ell \sin \theta ){\hat {x}}_{I}+\ell \cos \theta {\hat {y}}_{I}}$

在慣性坐標下，對時間取二階微分，即可得到加速度。

${\displaystyle {\vec {a}}_{P/I}=({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta ){\hat {x}}_{I}+(-\ell {\dot {\theta }}^{2}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }}\sin \theta ){\hat {y}}_{I}}$

因此，用牛頓第二運動定律求解時，可以列出x方向及y方向的式子。注意給擺的反作用力是正的，給台車的是負的。這是因為牛頓第三運動定律的結果。

${\displaystyle R_{x}=m({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta )}$

${\displaystyle R_{y}-mg=m(-\ell {\dot {\theta }}^{2}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }}\sin \theta )}$

第一個方程式提供了一個在未知外力${\displaystyle F}$時，可以計算水平反作用力的方式。可以用第二式求解垂直作用力，再將第一式的${\displaystyle R_{x}=m({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta )}$用${\displaystyle F-R_{x}=M{\ddot {x}}}$取代，可得

${\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =F}$

可以觀察到這個式子和拉格朗日方程的結果完全一樣。為了得到第二式，需要將擺的運動方程和始終和擺垂直的單位向量進行點積，結果會列為物體座標（B）下的X軸。在慣性座標（I）下，向量可以用以下簡單的二維坐標轉換來表示

${\displaystyle {\hat {x}}_{B}=\cos \theta {\hat {x}}_{I}+\sin \theta {\hat {y}}_{I}}$

擺的運動方程可以寫作向量的形式，為${\displaystyle \sum {\vec {F}}=m{\vec {a}}_{P/I}}$。在兩側和${\displaystyle {\hat {x}}_{B}}$作點積，可得以下等式的左邊（注意轉置後點積的結果相同）

${\displaystyle ({\hat {x}}_{B})^{T}\sum {\vec {F}}=({\hat {x}}_{B})^{T}(R_{x}{\hat {x}}_{I}+R_{y}{\hat {y}}_{I}-mg{\hat {y}}_{I})=({\hat {x}}_{B})^{T}(R_{p}{\hat {y}}_{B}-mg{\hat {y}}_{I})=-mg\sin \theta }$

上式中用到了在物體移動方向為準的反作用力分量，以及慣性座標下反作用力分量之間的關係。假設中有假設桿無質量，因此桿無法給予垂直桿子的力。慣性座標下的反作用力可以寫成${\displaystyle R_{p}{\hat {y}}_{B}}$，強調桿只能提供和桿平行的力。因此會產生另外一個方程，可以求解桿上的張力

${\displaystyle R_{p}={\sqrt {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}}}}$

等式的右邊也可以用將擺的力加速度和${\displaystyle {\hat {x}}_{B}}$點積的方式計算，結果（經過一些簡化）如下

${\displaystyle m({\hat {x}}_{B})^{T}({\vec {a}}_{P/I})=m({\ddot {x}}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }})}$

合併左式及右式，並且除以m可得

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta }$

此結果也和拉格朗日方程的結果相同，使用牛頓運動定律的好處是知道所有的反作用力，可以確定擺和台車不會因為受力過大而損毀。

穩定台車倒單擺的方式，可以簡述為下三點。

台車和倒單擺的例子中，簡單的穩定控制系統

1. 若直桿往右傾斜，台車需要往右加速，反之亦然。
2. 台車相對軌道中心的位置${\displaystyle x}$穩定的方式是是將null angle由台車的位置來進行調整，也就是null angle ${\displaystyle =\theta +kx}$，其中${\displaystyle k}$是小的數值。因此桿會輕微的向軌道中心傾斜，若其角度恰好垂直的話，就會穩定在軌道中心。傾斜感測器或是軌道斜率的誤差（本來會造成不穩定的效應）都會變成穩定的位置偏移量，另外增加的偏移量則是為了位置控制。
3. 正常的擺單擺在角頻率為${\displaystyle \omega _{p}={\sqrt {g/\ell }}}$時會共振。為了避免不受控的晃動，樞紐點需要抑制在共振頻率${\displaystyle \omega _{p}}$附近的頻率響應。倒單擺也需要類似的帶拒濾波器才能達到穩定。

由於null angle調整策略的結果，正回授的結果為正，若擺突然往右移動，會讓平台的初始速度往左，但之後會往右，以讓倒單擺重新平衡。擺的不穩定性以及正位置回授的不穩定性交互作用，以產生一個穩定的系統，這是倒單擺穩定問題的特徵，也是在數學分炘上有趣而有挑戰性的地方。

建構卡皮察擺的作法。馬達在高速時旋轉曲柄，曲柄使槓桿上下擺動，槓桿的末端連接倒單擺