偏排序

当 k 固定时，堆允许一个简单的单次偏排序：向一个最大堆中插入输入中的前 k 个元素，然后遍历剩余的元素，依次加到堆中，并删除最大的那个。每个插入操作耗时 O(log k) ，总耗时达 O(n log k)。该算法适合求解第 k 小的值与配置在线算法.[1] 另一个选择是为所有值构建一个最小堆(构建过程耗费 O(n)) 并将堆头移除，重复 K 次, 每次移除操作耗费 O(log n). 在该情况下，总的算法复杂度为 O(n+klog n)。

进一步的放宽要求，只需要 k 个最小元素的列表，但不保证它们有序。这使得问题简化为基于分区的选择; 原本的偏排序问题可以通过基于选择算法来解决，这将得到一个包含前 k 个最小元素并保证它们有序的数组，总体耗费 O(n + k log k)。该算法方案的一个流行实现是结合快速选择与快速排序，该结果常称为 "quickselsort".[1]

比上述更高效的，是基于归并排序与快速排序的专门偏排序算法。在快速排序的变体里，不需要对只包含最终排序后数组(从左边界开始)的第 k 个位置之后元素的划分(partition)，进行递归的排序。因此，如果支点(pivot)在 k 之后, 我们的递归仅限于左边的划分(partition):[2]

 function partial_quicksort(A, i, j, k)
     if i < j
         p ← pivot(A, i, j)
         p ← partition(A, i, j, p)
         partial_quicksort(A, i, p-1, k)
         if p < k-1
             partial_quicksort(A, p+1, j, k)

所得算法称之为偏快速排序，且只需要耗时 O(n + k log k)，这在实践中相当高效，尤其当一个选择排序被用于 k 相对于 n 很小时的情况。然而，最坏的时间复杂度依然很糟糕, 例如在选取了一个不好的支点(pivot)时。支点(pivot)的选择沿着最坏线性时间线通常可以让选择算法的最坏情况稍好一些。