內射模

一個環 ${\displaystyle R}$ 上的左模 ${\displaystyle Q}$ 若滿足以下等價條件，則稱之為內射模：

• 若 ${\displaystyle Q}$ 是另一個左 ${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle M}$ 的子模，則存在另一個子模 ${\displaystyle R\subset M}$ 使得 ${\displaystyle M=R\oplus Q}$。
• 若 ${\displaystyle f:X\to Y}$ 是左 ${\displaystyle R}$-模的單射，${\displaystyle g:X\to Q}$ 為同態，則存在同態 ${\displaystyle h:Y\to Q}$ 使得 ${\displaystyle h\circ f=g}$。圖示如下：

• 任何短正合序列 ${\displaystyle 0\to Q\to M\to K\to 0}$ 都分裂。
• 函子 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(-,Q)}$ 為正合函子。

右模的定義類此。抽象地說，內射模乃是模範疇中的內射對象。

• 零模是內射模的平凡例子。
• 設 ${\displaystyle R}$ 為域，則任何 ${\displaystyle R}$-模（即 ${\displaystyle R}$-向量空間）都是內射模，此點可由基的性質證明。
• 設 ${\displaystyle G}$ 為緊群（例如有限群），${\displaystyle k}$ 為特徵為零的域。根據緊群的表示理論，可知任何表示的子表示都是其直和項；若翻譯為模的語言，即是：群代數 ${\displaystyle kG}$ 上的所有模都是內射模。
• 設 ${\displaystyle A}$ 為域 ${\displaystyle k}$ 上含單位元的有限維結合代數。則逆變函子 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{k}(-,k)}$ 給出有限生成左 ${\displaystyle A}$-模與有限生成右 ${\displaystyle k}$-模的對偶性。因此，有限生成的左 ${\displaystyle A}$-模在同構的意義下皆可寫作 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{k}(P,k)}$，其中 ${\displaystyle P}$ 是某個有限生成的投射右 ${\displaystyle A}$-模。
• 在一般的環上也存在充足的（在內射分解的意義下）投射模，以下將述及相關理論。初步的例子包括：${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 對加法形成內射 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-模。群 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ （${\displaystyle n>1}$）是內射 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$-模，而非內射 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-模。
• 若一个环作为它自身的左模是内射的，就称为一个左自内射环（英語：）。右自内射环可对称的定义。半单环，整数的剩余类环是自内射环。一个左自内射环不一定是右自内射的。

內射模的直積（包括無窮直積）仍是內射模，內射模的有限直和仍為內射模。一般而言，內射模的子模、商模或無窮直和並不一定是內射模。

Baer 在其論文中證明了一個有用的結果，通常稱作 Baer 判準：一個左 ${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle Q}$ 是內射模若且唯若定義在任一理想 ${\displaystyle I}$ 上的態射 ${\displaystyle I\to Q}$ 都能延拓到整個 ${\displaystyle R}$ 上。

利用此判準，可證明主理想域 ${\displaystyle R}$ 上的模 ${\displaystyle Q}$ 是內射模若且唯若 ${\displaystyle Q}$ 可除，即：對任何 ${\displaystyle r\neq 0\in R.\;q\in Q}$，存在 ${\displaystyle q'\in Q}$ 使得 ${\displaystyle rq'=q}$，由此可證 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 是內射 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-模，向量空間都是內射模。

最重要的內射模當屬 ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$：它是 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-模範疇中的內射上生成元，換言之，這是內射模，而且任何 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-模皆可嵌入某個 ${\displaystyle (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )^{a}}$ 中，其中 ${\displaystyle a}$ 是夠大的基數。由此可知任何 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-模皆可嵌入某個內射 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-模。此性質對任意環 ${\displaystyle R}$ 上的左模都成立，要點在於利用 ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ 的特性構造左 ${\displaystyle R}$-模範疇中的內射上生成元。

我們也可以定義模的內射包（基本上是包含一個模的最小內射模）。任意模 ${\displaystyle M}$ 都有內射分解，這是形式如下的正合序列：

${\displaystyle 0\to M\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots I^{n}\to \cdots }$

其中每個 ${\displaystyle I^{j}}$ 都是內射的。內射分解可以用以定義模的內射維度（基本上是內射分解的最短長度，可能是無限的）及導函子。

不可分解內射模的自同態環是局部環。

• F.W. Anderson and K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1992.

• 模论
• 投射模