內射維度、投射維度與同調維度

以下設 ${\displaystyle A}$ 為交換環，而 ${\displaystyle M}$ 為 ${\displaystyle A}$-模。

${\displaystyle M}$ 的內射維度 ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}(M)}$ 定義為其內射分解的最短長度（當 ${\displaystyle M=(0)}$ 時置 ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}(0)=-\infty }$）。投射維度 ${\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)}$ 則定義為其投射分解的最短長度。

利用同調代數的工具，可以進一步得到下述刻劃：

命題一. 設 ${\displaystyle n\geq 0}$ 為整數，下述條件等價：

• ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}(M)\leq n}$。
• 對所有 ${\displaystyle A}$-模 ${\displaystyle N}$，有 ${\displaystyle i>n\Rightarrow \mathrm {Ext} _{A}^{i}(N,M)=0}$。
• 對所有理想 ${\displaystyle I\subset A}$，有 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{n+1}(A/I,M)=0}$。
• 對所有正合序列 ${\displaystyle 0\to M\to I^{0}\to \cdots \to I^{n-1}\to Q\to 0}$，若每個 ${\displaystyle I}$ 都是內射模，則 ${\displaystyle Q}$ 也是內射模。

命題二. 設 ${\displaystyle n\geq 0}$ 為整數，下述條件等價：

• ${\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)\leq n}$。
• 對所有 ${\displaystyle A}$-模 ${\displaystyle N}$，有 ${\displaystyle i>n\Rightarrow \mathrm {Ext} _{A}^{i}(M,N)=0}$。
• 對所有正合序列 ${\displaystyle 0\to K\to P_{n-1}\to \cdots \to P_{0}\to M\to 0}$，若每個 ${\displaystyle P}$ 都是投射模，則 ${\displaystyle K}$ 也是投射模。

當 ${\displaystyle A}$ 為諾特環而 ${\displaystyle M}$ 為有限生成 ${\displaystyle A}$-模時，上述條件更等價於

• 對所有極大理想 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subset A}$，有 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{n+1}(M,A/{\mathfrak {m}})=0}$
• 對所有極大理想 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subset A}$，有 ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{n+1}^{A}(M,A/{\mathfrak {m}})=0}$

由此可定義環 ${\displaystyle A}$ 的同調維度 ${\displaystyle \mathrm {hd} (A)}$為：

• ${\displaystyle \sup _{M}\;\mathrm {pd} _{A}(M)}$
• ${\displaystyle \sup _{M}\;\mathrm {id} _{A}(M)}$
• 存在 ${\displaystyle A}$-模 ${\displaystyle M,N}$ 使得 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{n}(M,N)\neq 0}$ 的最大整數 ${\displaystyle n}$（可能是無窮大）。

內射維度、投射維度與同調維度對局部化有下述關係：

${\displaystyle \mathrm {id} _{A}(M)=\sup _{\mathfrak {p}}\;\mathrm {id} _{A_{\mathfrak {p}}}(M_{\mathfrak {p}})}$

${\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)=\sup _{\mathfrak {p}}\;\mathrm {pd} _{A_{\mathfrak {p}}}(M_{\mathfrak {p}})}$

其中的 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ 取遍 ${\displaystyle A}$ 的所有素理想（或極大理想），而投射維度給出 ${\displaystyle \mathrm {Spec} A\to \mathbb {Z} \cup \{\pm \infty \}}$ 的上半連續函數。事實上，僅須考慮 ${\displaystyle M}$ 的支撐集中的素理想。

由此立刻得到 ${\displaystyle \mathrm {hd} (A)=\sup _{\mathfrak {p}}\;\mathrm {hd} (A)}$。

此外，它們與模的深度也有密切的關係，例如：

定理 （Auslander-Buchsbaum）：設 ${\displaystyle A}$ 為局部諾特環，${\displaystyle M}$ 為有限生成 ${\displaystyle A}$-模，而且其投射維度有限，則

${\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)+\mathrm {depth} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)}$

定理：設 ${\displaystyle A}$ 為局部諾特環，${\displaystyle M}$ 為有限生成 ${\displaystyle A}$-模，而且其內射維度有限，則

${\displaystyle \mathrm {id} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)}$

最後，同調維度為正則局部環給出了一個完全內在的刻劃：

定理（Serre）：一個局部諾特環 ${\displaystyle A}$ 是正則局部環的充要條件是 ${\displaystyle \mathrm {hd} (A)<+\infty }$，此時 ${\displaystyle \mathrm {hd} (A)=\dim A}$。

• N. Bourbaki, Algèbre commutative, chapitre 10 (1998), Masson. ISBN 3-540-34394-6