复合函数

考慮到函數的值域跟定义域，要簡單的以“計算式”，如把所有 ${\displaystyle (x,\,x+1)}$ 和 ${\displaystyle (y,\,{\sqrt {y}})}$ 的有序对頭接尾的這樣直觀定義“合成”是會遇到問題的，像是把 ${\displaystyle x}$ 取為实数，這樣把 ${\displaystyle x+1}$ 很自然的對接到 ${\displaystyle y}$ 然後開根號成 ${\displaystyle {\sqrt {y}}}$ ，是會遇到對負數開根號，出現非單一值的問題（請參見棣莫弗公式），就算不考慮單一值的問題，我們期望的“合成函數”的值域到底該不該包含複數呢？所以 (1) 我們一開始就要把準備“合成”的兩個函數的值域跟定義域劃分清楚 (2) 要考慮到對接的時候，前面的值域跟後面的值域不一定相等的問題。

如果我們有兩個函數 ${\displaystyle f}$ 和 ${\displaystyle g}$ ，而兩者的定義域分別是 ${\displaystyle D_{f}}$ 和 ${\displaystyle D_{g}}$ ；值域分別是 ${\displaystyle I_{f}}$ 和 ${\displaystyle I_{g}}$ 。如果 ${\displaystyle I_{f}\cap D_{g}\neq \varnothing }$ ，那我們定義合成函數為

${\displaystyle g\circ f:=\{(x,\,z)\,|\,(\exists y\in I_{f}\cap D_{g})[y=f(x)\wedge z=g(y)]\}}$

直觀上來說，如果 ${\displaystyle f}$ 的“輸出範圍”是有一部分在 ${\displaystyle g}$ 的“輸入範圍”，那我們就可以定義“先作用 ${\displaystyle f}$ 再作用 ${\displaystyle g}$ ”的函數，但這個“新合成”的函數的定義域可能會因此被限縮（輸出值處在兩者交集的那些 ${\displaystyle x}$ 而已）。注意到每個 ${\displaystyle x}$ 只會有一個輸出值 ${\displaystyle y}$ ，而每個 ${\displaystyle y}$ 只會有一個輸出值 ${\displaystyle z}$ ，所以這樣“先作用 ${\displaystyle f}$ 再作用 ${\displaystyle g}$ ”的話，每個 ${\displaystyle x}$ 只會有一個輸出值 ${\displaystyle z}$ 而已，這確保了 ${\displaystyle g\circ f}$ 符合我們對函數的要求。

绝对值函数与三次函數，两个实函数以不同的次序复合。这表明了函数复合不遵守交换律

当 ${\displaystyle g\circ f=f\circ g}$ 时（注意這是集合的相等！），我们会说 ${\displaystyle g}$ 和 ${\displaystyle f}$ 是可交换的。

兩個一對一函數的合成函數也是一對一的。

涉及到可导函数的复合函数的导数，可以用链式法则求得。Faà di Bruno公式给出了复合函数的高阶导数的表达式。

g ∘ f ，f 与 g 的复合。例如，(g ∘ f )(c) = #.

两个函数复合的具体例子

• 有限集上的函数复合：若 f = {(1, 3), (2, 1), (3, 4), (4, 6)}，g = {(1, 5), (2, 3), (3, 4), (4, 1), (5, 3), (6, 2)}，则 g ∘ f = {(1, 4), (2, 5), (3, 1), (4, 2)}.
• 无限集上的函数复合：若 f: ℝ → ℝ （其中 ℝ 是所有实数的集合）表达式为 f(x) = 2x + 4，而 g: ℝ → ℝ 表达式为 g(x) = x³，则：

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x³) = 2x³ + 4, and

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 4) = (2x + 4)³.

• 如果一架飞机在 t 时刻的海拔为 h(t)，而海拔 x 处的氧气浓度为 c(x)，那么 (c ∘ h)(t) 描述了 t 时刻飞机周围的氧气浓度。

假设我们有两个（或多个）函数 f: X → X, g: X → X，定义域与到达域相同；这些函数一般称作变换。于是，我们可以构造多个变换复合而成的链，比如 f ∘ f ∘ g ∘ f。这种链具有幺半群的代数结构，称作变换幺半群或者复合幺半群。通常，变换幺半群可以具有非常复杂的结构。一个很有名的例子是德拉姆曲线。所有函数 f: X → X 的集合称作 X 上的全变换半群[2]或对称半群[3]。（我们其实可以定义两个半群，这取决于定义半群运算为函数左复合和右复合的方式。[4]）

把△EFA变换为△ATB的相似性是位似 H 和以 S 为中心的旋转 R 的复合。例如，A 在旋转R下的像是 U，可以写作R (A) = U。而 H(U) = B 表示映射 H 把 U 变换到了 B。因此，H(R (A)) = (H ∘ R )(A) = B。

如果变换是双射（也就可逆），则这些函数所有可能的组合就构成了一个变换群；可以说这个群是由这些函数生成的。这就引出了群论里面的凱萊定理从本质上表明，（在同构意义下）任何群都是某一置换群的子群。[5]

所有双射函数 f: X → X（称作置換）的集合构成了一个关于复合算子的群。这就是对称群，有时称作复合群。

在（所有变换的）对称半群中，我们还可以发现一个较弱的、非唯一的逆变换（称作伪逆），因为对称子群是一个正则半群。[6]

如果 Y ⊆ X，则 f: X→Y 有可能可以与自身复合；这有时候记作 f ²。即：

(f ∘ f)(x) = f(f(x)) = f ²(x)

(f ∘ f ∘ f)(x) = f(f(f(x))) = f ³(x)

(f ∘ f ∘ f ∘ f)(x) = f(f(f(f(x)))) = f ⁴(x)

更一般地，对于 n ≥ 2 的自然数，n 次函数冪可以归纳定义为 f ⁿ = f ∘ f ⁿ⁻¹ = f ⁿ⁻¹ ∘ f. 这种函数与自身的反复复合称作迭代函数。

• 习惯上，f ⁰ 定义为 f 定义域上的恒同映射，id_X.
• 如果 Y = X，而 f: X → X 存在反函數 f ⁻¹，那么对于 n > 0，负函数幂 f ⁻ⁿ 定义为反函数的幂：f ⁻ⁿ = (f ⁻¹)ⁿ.

注意：若 f 在一个环内取值（特别是对于实值或复值f），存在混淆的风险，因为 f ⁿ 也可以表示 f 的 n 次乘积，比如 f ²(x) = f(x) · f(x). 对于三角函数，通常会使用后者的含义，至少对于正指数是这样。例如，在三角学中，使用三角函数 sin²(x) = sin(x) · sin(x) 的时候，这个上标记号表示标准的指数运算。不过，对于负指数（特别是 −1），则通常指的是反函数，例如，tan⁻¹ = arctan ≠ 1/tan.

在一些情况下，对于给定函数 f，方程 g ∘ g = f 只有一个解 g 的时候，该函数可以定义为 f 的函数平方根，记作 g = f ^1/2.

更一般地，当 gⁿ = f 只有唯一解时（自然数 n > 0），f ^m/n可以定义为 g^m.

在额外的限制下，这个想法还可以推广，使得迭代函数可以是一个连续的参数；在此情形下，这样的系统称作流，由施罗德方程定义。迭代函数和流很自然地出现在分形和动力系统的研究中。

为避免混淆，有些数学家把 f 的 n 次迭代写作 f °ⁿ.

许多数学家，特别是群论方面的数学家，省去复合符号，把 g ∘ f 写作 gf.[7]

在20世纪中叶，一些数学家认为用“g ∘ f ”来表示“首先施加 f，然后施加 g”太令人困惑，于是决定改变记法。他们用“xf”来代表“f(x)”，用“(xf)g”来代表“g(f(x))”。[8] 这在某些领域会比函数写在左面更加自然和简便—比如在线性代数中，当 x 为行向量，f 和 g 表示矩阵，而复合是通过矩陣乘法完成的时候。这种替代记法称作后缀表示法。顺序很重要，因为函数复合不一定是可交换的（比如矩阵乘法）。向右进行施加函数和复合的写法复合从左到右的阅读顺序。

使用后缀表示法的数学家可能会写“fg”，表示先施加 f 再施加 g，这样就能与后缀表示法中的符号的顺序保持一致，不过这就会让“fg”这个记号有歧义了。计算机科学家可能用 f ; g 来表示 [1] ，这样就能区分出复合的顺序了。要把左复合算子和文本分好区分开来，在Z表示法（Z notation）中 ⨾ 字符用于左关系复合。[9] 由于所有函数都是二元关系，在函数复合中也应该用[粗]分号（参见 关系复合条目了解此记法的详细内容）。

给定函数 g，复合算子 C_g 定义为使得

${\displaystyle C_{g}f=f\circ g.}$

的从函数映射到函数的算子。在算子理论领域会研究复合算子。

对于多元函数来说，部分复合是有可能的。当函数 f 的部分参数 x_i 由 g 换掉后得到的结果在一些计算机工程文献中，记作 f |_{xi = g}

${\displaystyle f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{i+1},\ldots ,x_{n}).}$

当 g 是一个常数 b 时，复合退化为一个（部分）求值，其结果就会是限制或者辅因子。[10]

${\displaystyle f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots ,x_{n}).}$

通常，多元函数的复合可能涉及若干其他函数作为参数，如原始递归函数的定义。给定 f，一个 n 元函数，n 个 m 元函数 g₁, ..., g_n，f 与 g₁, ..., g_n 的复合是 m 元函数

${\displaystyle h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m}))}$.

这有时称作 f 与 g₁, ..., g_n 的广义复合。[11] 在这个一般化的情形中，可以通过把所有这些用作参数的函数合适地选为射影函数，只保留一个参数函数，就能得到前面提到的只有一个参数部分复合的函数。还要注意，在这个一般化情形中，g₁, ..., g_n 可以看作是单个向量或元组值函数，这样理解的话，这就是复合函数的标准定义。[12]

某些基本集 X 上的一些有限性运算称作克隆，它们需要包含所有射影，并且在广义复合下封闭。请注意，克隆通常包含各种元数（arity）的运算。[11] 交换的概念在多元情形中叶有一个有意思的推广：如果元数 n的函数 f 是保持 g 的同态函数（g 的元数为 m），则可以说 f与 g 是可交换的，反之亦然。例如：[13]

${\displaystyle f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm}))}$.

一元运算总是与自己可交换，但二元（或者更多元）运算不一定如此。与自身可交换的二元（或更多元）运算称为medial或entropic。[13]

复合可以推广到任意二元关系。若 R ⊆ X × Y 与 S ⊆ Y × Z 是两个二元关系，则它们的复合 S∘R 是定义为 {(x, z) ∈ X × Z : ∃y ∈ Y. (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S}. 考虑二元关系的一个特殊情形（函数关系），复合函数满足关系复合的定义。

偏函数的复合可是用相同方式定义的定义，有一个类似凯莱定理（Cayley's theorem）的定理叫做Wagner-Preston定理。[14]

具有态射函数的集合范畴叫做原型范畴（prototypical category）。范畴的公理实际上受到了复合函数的性质（和定义）启发。[15] 由复合形成的结构在范畴论中被公理化和推广，函数的概念换成了范畴论中的态射。公式 (f ∘ g)⁻¹ = (g⁻¹ ∘ f ⁻¹) 中的反序复合，同样适用于使用逆关系的关系复合，因此在群论中也适用。这些结构形成了dagger范畴。

复合算子 ∘  编码为U+2218 ∘ RING OPERATOR ，HTML：∘。参见Degree symbol条目中外观类似的Unicode字符。在TeX中，写作\circ。

• 组合子逻辑
• 函数分解
• 迭代函数
• 解析函数的无限复合
• 流
• 高阶函数
• 蛛网图，函数复合的图形方法
• Λ演算
• 函数平方根
• 复合环，复合运算的形式公理化
• 随机变量函数

• Hazewinkel, Michiel (编), , , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• "Composition of Functions （页面存档备份，存于）" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.