立方根

在实数系中，实数${\displaystyle a}$的立方根通常用${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}}$表示，可读作「${\displaystyle a}$的立方根」，「立方根${\displaystyle a}$」或「根號${\displaystyle a}$開三次方」。

值得注意的是，某个实数${\displaystyle a}$的立方根在複數系中可能有1个，或者2个，或者3个 ，但在实数系中有且仅有1个。即在实数系中，实数${\displaystyle a}$的立方根唯一确定。習慣上，三次根号${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}}$僅用来表示實數解。例如：${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1}}}$仅表示实数1，而不表示複數${\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}$，与${\displaystyle {\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}}$。

即解${\displaystyle x^{3}=1}$，解法如下：

${\displaystyle \Rightarrow x^{3}-1=0}$

${\displaystyle \Rightarrow (x-1)(x^{2}+x+1)=0}$（立方差）

${\displaystyle \Rightarrow x-1=0}$或${\displaystyle x^{2}+x+1=0}$

${\displaystyle \Rightarrow x=1}$或${\displaystyle x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}}$（公式解）

令${\displaystyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}$，則${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}}$；反之，令${\displaystyle \omega ={\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}}$，則${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}$。由以上的式子可看出${\displaystyle \omega }$的特性有：

• ${\displaystyle {{{{\omega }^{2}}+{\omega }}+{1}}=0}$
• ${\displaystyle {{\omega }^{3}}=1}$（將${\displaystyle \omega }$代回${\displaystyle x^{3}=1}$求得）

故${\displaystyle \omega }$可代表${\displaystyle {\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}}$中的任何一數，即${\displaystyle \omega }$為1的立方虛根。

• 牛頓法：${\displaystyle x_{i+1}={\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{x_{i}^{2}}}+2x_{i}\right)}$
• 哈雷法：${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}\left({\frac {x_{i}^{3}+2a}{2x_{i}^{3}+a}}\right)}$

1220年意大利人斐波那契第一次使用${\displaystyle \operatorname {R} x}$來表達立方根，${\displaystyle \operatorname {R} }$源于拉丁文的首字母，意思为“根、方根”。

十七世紀初時，法國數學家笛卡兒（1596－1650）在他的著作幾何學中第一次使用不連續的「√」及「￣」表示根號，其中“√”为小写r的变形。到了18世纪中叶，数学家卢贝（）将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（根指数为2时，省略不写）。从而，形成了我们现在所用的开方符号${\displaystyle {\sqrt {\color {white}x}}}$。

• 方根

• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.