刚体

剛體是由一群數量超多的質點組成。實際而言，不可能精確地追蹤其中每一個質點的運動。為了簡化運算，可以利用剛體的「剛性」，即其內部所有質點彼此之間距離不變的性質。假若物體具有剛性，則倚靠設定三個不共線質點的位置，就足以設定此物體的位置。這意味著，在三維空間裏，剛體至多只有九個自由度，但由於假定三個質點之間的距離固定不變，所以，剛體只有六個自由度。假設還有其它約束，例如，剛體的運動必需繞著其內部一點旋轉（定點轉動），或繞著其內部一直軸旋轉（定軸轉動），則自由度會小於六。

關於其它任意質點P的位置，只要知道質點P對於上述三個質點之中的任意一個質點的相對位置，就可以重建這質點的位置。通常，整個剛體的空間位形可以簡易地以參數設定：

1. 剛體的「位置」：挑選剛體內部一點G來代表整個剛體，通常會設定物體的質心或形心為這一點。從空間參考系S觀測，點G的位置就是整個剛體在空間的位置。位置可以應用向量的概念來表示：向量的起點為參考系S的原點，終點為點G。設定剛體的位置需要三個坐標，例如，採用直角坐標系，這三個坐標為x-坐標、y-坐標、z-坐標。這用掉了三個自由度。
2. 剛體的取向：描述剛體取向的方法有好幾種，包括方向餘弦、歐拉角、四元數等等。這些方法設定一個附體參考系B的取向（相對於空間參考系S）。附體參考系是固定於剛體的參考系。相對於剛體，附體參考系的取向固定不變。由於剛體可能會呈加速度運動，所以附體參考系可能不是慣性參考系。空間參考系是某設定慣性參考系，例如，在觀測飛機的飛行運動時，附著於飛機場控制塔的參考系可以設定為空間參考系，而附著於飛機的參考系則可設定為附體參考系。剛體的取向需要用到另外三個自由度。

單位向量${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} _{i}}}}$與參考系的三個單位向量${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{1}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{2}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{3}}$之間的夾角分別為${\displaystyle \theta _{i1}}$、${\displaystyle \theta _{i2}}$、${\displaystyle \theta _{i3}}$。

方向餘弦方法可以用來設定附體參考系B的取向，即剛體的取向。假設沿著參考系S的坐標軸的三個單位向量分別為${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{1}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{2}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{3}}$，沿著參考系B的坐標軸的三個單位向量分別為${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$。定義${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$與${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{j}}$之間的方向餘弦${\displaystyle a_{ij}}$為

${\displaystyle a_{ij}\ {\stackrel {def}{=}}\ \cos {(\theta _{ij})}={\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {x} }}_{j}}$；

其中，${\displaystyle \theta _{ij}}$是${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$與${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{j}}$之間的夾角。

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$與${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{1}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{2}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{3}}$之間的關係分別為

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}=\cos {(\theta _{11})}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+\cos {(\theta _{12})}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+\cos {(\theta _{13})}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}=a_{11}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+a_{12}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+a_{13}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}}$、

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}=\cos {(\theta _{21})}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+\cos {(\theta _{22})}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+\cos {(\theta _{23})}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}=a_{21}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+a_{22}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+a_{23}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}}$、

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}=\cos {(\theta _{31})}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+\cos {(\theta _{32})}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+\cos {(\theta _{33})}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}=a_{31}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+a_{32}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+a_{33}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}}$。

兩個參考系的坐標軸所形成的矩陣稱為「方向餘弦矩陣」${\displaystyle A}$：

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}$。

採用愛因斯坦求和約定，由於${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}=a_{ij}{\hat {\mathbf {x} }}_{j}}$，給定方向餘弦矩陣${\displaystyle A}$，則可設定附體參考系B的取向，也就是剛體的取向。

反過來，經過一番運算，可以得到${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{j}=a_{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$。

給定位置向量${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+x_{2}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+x_{3}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}=e_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+e_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+e_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$，

則${\displaystyle \mathbf {r} }$與${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$的內積為

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{i}=e_{i}=a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+a_{i3}x_{3}=a_{ij}x_{j}}$。

方向餘弦矩陣${\displaystyle A}$可以將從空間參考系S觀測的位置坐標${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$，變換為從附體參考系B觀測的位置坐標${\displaystyle (e_{1},e_{2},e_{3})}$，因此又稱為「變換矩陣」。

變換矩陣${\displaystyle A}$也可以做反變換如下：

${\displaystyle x_{j}=a_{ij}e_{i}}$。

變換矩陣${\displaystyle A}$是一種正交矩陣，滿足「正交條件」

${\displaystyle a_{ij}a_{ik}=\delta _{jk}}$；

其中，${\displaystyle \delta _{jk}}$是克羅內克函數。

注意到${\displaystyle \theta _{ij}}$與${\displaystyle \theta _{ji}}$不同，夾角${\displaystyle \theta _{ji}}$是${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{j}}$與空間參考系S的坐標軸單位向量${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{i}}$之間的夾角。變換矩陣${\displaystyle A}$通常不是對稱矩陣。

左圖顯示「主動變換」：參考軸固定不動，點P被旋轉${\displaystyle -\theta }$角弧成為點P'。右圖顯示「被動變換」：參考軸被旋轉${\displaystyle \theta }$角弧，而點P固定不動。

對於二維旋轉，變換矩陣${\displaystyle A}$可以視為旋轉矩陣。例如，將附體參考系B或剛體旋轉，從${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$旋轉${\displaystyle \theta }$角弧成為${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}'_{1}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}'_{2}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}'_{3}}$；其中，${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}={\hat {\mathbf {e} }}'_{3}}$。對於這旋轉，旋轉矩陣${\displaystyle A}$為

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\cos {\theta }&\sin {\theta }&0\\-\sin {\theta }&\cos {\theta }&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$。

參考軸${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}'_{i}}$與${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{j}}$之間的關係為

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}'_{i}=a_{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}}$。

旋轉矩陣${\displaystyle A}$也可以視為將點P的位置向量${\displaystyle \mathbf {r} =x_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}}$旋轉${\displaystyle -\theta }$角弧成為點P'的位置向量${\displaystyle \mathbf {r} '=x'_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}}$：

${\displaystyle x'_{i}=a_{ij}x_{j}}$。

按照順序使用最多三個歐拉角 (${\displaystyle \alpha ,\ \beta ,\ \gamma }$)，可以從xyz-軸變換到XYZ-軸。交點線（N）是以綠色表示。

方向餘弦矩陣${\displaystyle A}$足以設定附體參考系B的取向。但是，矩陣${\displaystyle A}$有九個元素，而剛體只能供給三個自由度來設定取向，因為這九個元素不是自變量。歐拉角的三個自變量可以用來設定剛體的取向。

相對於空間參考系S，附體參考系B的取向，可以用三個歐拉角來設定。參閱右圖。設定xyz-軸為空間參考系S的坐標軸，XYZ-軸為附體參考系B的坐標軸。稱xy-平面與XY-平面的相交為「交點線」，用英文字母（N）代表。按照「zxz順規」，歐拉角可以這樣定義：

• ${\displaystyle \alpha }$是x-軸與交點線（N）之間的夾角，
• ${\displaystyle \beta }$是z-軸與Z-軸之間的夾角，
• ${\displaystyle \gamma }$是交點線（N）與X-軸之間的夾角。

每一個歐拉角的旋轉都對應於一個簡單的旋轉矩陣：

${\displaystyle A_{\alpha }={\begin{bmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$、

${\displaystyle A_{\beta }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \beta &\sin \beta \\0&-\sin \beta &\cos \beta \end{bmatrix}}}$、

${\displaystyle A_{\gamma }={\begin{bmatrix}\cos \gamma &\sin \gamma &0\\-\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$。

設定剛體取向的旋轉矩陣${\displaystyle A}$是由三個簡單旋轉矩陣${\displaystyle A_{\alpha }}$、${\displaystyle A_{\beta }}$、${\displaystyle A_{\gamma }}$共同合成：

${\displaystyle A=A_{\gamma }A_{\beta }A_{\alpha }}$。

單獨分開工作，每個矩陣各自代表一種旋轉。按照順序相乘，

• 最裏面的（最右的）矩陣代表繞著z軸的旋轉。
• 最外面的（最左的）矩陣代表繞著Z軸的旋轉。
• 在中間的矩陣代表繞著交點線的旋轉。

經過一番運算，可以得到${\displaystyle A}$矩陣：[2]

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos \gamma -\cos \beta \sin \alpha \sin \gamma &\sin \alpha \cos \gamma +\cos \beta \cos \alpha \sin \gamma &\sin \beta \sin \gamma \\-\cos \alpha \sin \gamma -\cos \beta \sin \alpha \cos \gamma &-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \beta \cos \alpha \cos \gamma &\sin \beta \cos \gamma \\\sin \beta \sin \alpha &-\sin \beta \cos \alpha &\cos \beta \end{bmatrix}}}$ 。

${\displaystyle A}$的逆矩陣是：

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos \gamma -\cos \beta \sin \alpha \sin \gamma &-\cos \alpha \sin \gamma -\cos \beta \sin \alpha \cos \gamma &\sin \beta \sin \alpha \\\sin \alpha \cos \gamma +\cos \beta \cos \alpha \sin \gamma &-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \beta \cos \alpha \cos \gamma &-\sin \beta \cos \alpha \\\sin \beta \sin \gamma &\sin \beta \cos \gamma &\cos \beta \end{bmatrix}}}$ 。

歐拉旋轉定理表明，在三維空間裏，假設約束剛體內部一點固定不動，則其任意位移等價於繞著某固定軸的一個旋轉，而這固定軸必包含這固定點。換句話說，設定附體參考系B的原點為這固定點，則附體參考系B不會因為這位移而涉及任何平移運動，再設定附體參考系B的z-軸與固定軸同軸，則這位移對應於繞著附體參考系B的z-軸旋轉${\displaystyle \gamma }$角弧，而z-軸的方向是由${\displaystyle \alpha }$與${\displaystyle \beta }$角弧給出。[3]

對於內部有一點被約束固定不動的剛體（或原點固定不動的參考系），歐拉旋轉定理將其任意位移等價為繞著某固定軸的一個旋轉。這允許使用旋轉來表達取向的改變。因此，變換矩陣${\displaystyle A}$可以視為三維旋轉的旋轉矩陣，將附體參考系B或剛體做任意環繞著固定點的旋轉，從${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$旋轉成為${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}'_{1}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}'_{2}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}'_{3}}$。參考軸${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}'_{i}}$與${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{j}}$之間的關係為

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}'_{i}=a_{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}}$。

掛在重力式摩天輪邊緣的乘客座艙在做平移運動。

剛體平移運動示意圖。

當剛體移動時，它的位置與取向都可能會隨著時間演進而改變。沙勒定理是歐拉旋轉定理的一個推論。根據沙勒定理，剛體的最廣義位移等價於一個平移加上一個旋轉。[3]因此，剛體運動可分為平移運動與旋轉運動。剛體的現在位置與現在取向可以視為是從某個初始位置與初始取向經過平移與旋轉而成。

如右圖所示，從時間${\displaystyle t_{1}}$到時間${\displaystyle t_{2}}$，當剛體在做平移運動時，任意內部兩點，點P與點Q的軌跡（以黑色實線表示）相互平行，線段${\displaystyle {\overline {PQ}}}$（以黑色虛線表示）的方向保持恆定。

挑選剛體內部一點G來代表整個剛體，設定附體參考系B的原點於點G（稱為「基點」），則從空間參考系S觀測，在剛體內部任意一點P的位置${\displaystyle \mathbf {r} _{P}}$為

${\displaystyle \mathbf {r} _{P}=\mathbf {r} _{G}+\mathbf {r} _{P/G}}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} _{G}}$、${\displaystyle \mathbf {r} _{P/G}}$分別是基點G的位置、點P對於基點G的相對位置。

從附體參考系B觀測，剛體內部每一點的位置都固定不變，但從空間參考系S觀測，剛體從時間${\displaystyle t_{1}}$到時間${\displaystyle t_{2}}$的運動，可以分為基點G從${\displaystyle \mathbf {r} _{G}(t_{1})}$到${\displaystyle \mathbf {r} _{G}(t_{2})}$的平移運動，與位移${\displaystyle \mathbf {r} _{P/G}}$從時間${\displaystyle t_{1}}$到時間${\displaystyle t_{2}}$的旋轉運動。

從不同的參考系觀測剛體運動，可能會獲得不同的平移速度和不同的角速度。為了確保測量結果具有實際物理意義，必需先給定參考系。

剛體的平移速度是向量，是其位置向量的時間變化率，是附著於剛體的基點G的速度。對於純平移運動（沒有任何旋轉運動），剛體內部所有點的移動速度相同。假設涉及旋轉運動，則通常剛體內部任意兩點的瞬時速度不相等；只有當它們恰巧處於同一直軸，而這直軸平行於轉動瞬軸，則它們的瞬時速度相等。

角速度也是向量，描述剛體取向改變的角速率，和剛體旋轉時的瞬時轉軸的方向（歐拉旋轉定理保證瞬時轉軸的存在）。在任意時間，剛體內部每一個質點的角速度相同。

假設一剛體呈純旋轉運動，其附體參考系B也會跟著旋轉，因此，對於任意向量${\displaystyle \mathbf {F} }$，從這附體參考系B與從空間參考系S觀測，會得到不同的結果。假設附體參考系B ${\displaystyle ({\hat {\mathbf {e} }}_{1},{\hat {\mathbf {e} }}_{2},{\hat {\mathbf {e} }}_{3})}$與空間參考系S ${\displaystyle ({\hat {\mathbf {x} }}_{1},{\hat {\mathbf {x} }}_{2},{\hat {\mathbf {x} }}_{3})}$同原點。對於這些參考系，三維含時向量${\displaystyle \mathbf {F} (t)}$分解為

${\displaystyle \mathbf {F} =f_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}=F_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$。

${\displaystyle \mathbf {F} (t)}$對於時間的導數為

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}={\frac {\mathrm {d} F_{i}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}+F_{i}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{\mathrm {d} t}}}$。

單獨計算附體參考軸對於時間的導數：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(a_{ij}{\hat {\mathbf {x} }}_{j})={\dot {a}}_{ij}{\hat {\mathbf {x} }}_{j}={\dot {a}}_{ij}a_{kj}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}}$；

其中，${\displaystyle {\dot {a}}_{ij}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} a_{ij}}{\mathrm {d} t}}}$是方向餘弦對於時間的導數。

由於${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{\mathrm {d} t}}}$垂直於${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$，${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{\mathrm {d} t}}}$只能是其他兩個單位向量的線性組合：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}=-\epsilon _{ij\ell }\omega _{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{\ell }}$；

其中，${\displaystyle \epsilon _{ij\ell }}$是列維-奇維塔符號，${\displaystyle \omega _{ij}}$是係數。

對於任意${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{m}\neq {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$ , 單位向量${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$與${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{m}}$的內積對於時間的導數為

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{m})&=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{m}+{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {e} }}_{m}\right)\\&=-\epsilon _{ij\ell }\omega _{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{\ell }\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{m}-{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \epsilon _{mj\ell }\omega _{mj}{\hat {\mathbf {e} }}_{\ell }\\&=-\epsilon _{ijm}\omega _{ij}-\epsilon _{mji}\omega _{mj}\\&=-\epsilon _{ijm}(\omega _{ij}-\omega _{mj})\\&=0\\\end{aligned}}}$

所以，${\displaystyle \omega _{ij}}$的下標${\displaystyle i}$多餘無用，可以刪除，變為${\displaystyle \omega _{j}}$：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{\mathrm {d} t}}=-\epsilon _{ij\ell }\omega _{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{\ell }}$。

思考${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}}$方程式最右邊項目${\displaystyle F_{i}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{\mathrm {d} t}}}$，對換傀標${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \ell }$，可以得到

${\displaystyle F_{i}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{\mathrm {d} t}}=-\epsilon _{ij\ell }F_{i}\omega _{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{\ell }=\epsilon _{ij\ell }{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\omega _{j}F_{\ell }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {F} }$。

向量${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$是由三個係數${\displaystyle \omega _{1}}$、${\displaystyle \omega _{2}}$、${\displaystyle \omega _{3}}$組成，對應於附體參考系的三個參考軸${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$，係數數值可以從歐拉角計算求得：

${\displaystyle \omega _{1}={\dot {a}}_{2j}a_{3j}={\dot {\alpha }}\sin {\beta }\sin {\gamma }+{\dot {\beta }}\cos {\gamma }}$、

${\displaystyle \omega _{2}=-{\dot {a}}_{1j}a_{3j}={\dot {\alpha }}\sin {\beta }\cos {\gamma }+{\dot {\beta }}\sin {\gamma }}$、

${\displaystyle \omega _{3}={\dot {a}}_{1j}a_{2j}={\dot {\alpha }}\cos {\beta }+{\dot {\gamma }}}$。

試想對應於歐拉角${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$、${\displaystyle \gamma }$的三個旋轉軸分別為${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {N} }}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {Z} }}}$，三個角速度分別為

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\alpha }={\dot {\alpha }}{\hat {\mathbf {z} }}={\dot {\alpha }}\sin {\beta }\sin {\gamma }{\hat {\mathbf {X} }}+{\dot {\alpha }}\sin {\beta }\cos {\gamma }{\hat {\mathbf {Y} }}+{\dot {\alpha }}\cos {\beta }{\hat {\mathbf {Z} }}}$、

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\beta }={\dot {\beta }}{\hat {\mathbf {N} }}={\dot {\beta }}\cos {\gamma }{\hat {\mathbf {X} }}-{\dot {\beta }}\sin {\gamma }{\hat {\mathbf {Y} }}}$、

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\gamma }={\dot {\gamma }}{\hat {\mathbf {Z} }}}$。

這三個角速度的向量和，對於附體參考系B的分量分別為

${\displaystyle \omega _{X}={\dot {\alpha }}\sin {\beta }\sin {\gamma }+{\dot {\beta }}\cos {\gamma }=\omega _{1}}$、

${\displaystyle \omega _{Y}={\dot {\alpha }}\sin {\beta }\cos {\gamma }+{\dot {\beta }}\sin {\gamma }=\omega _{2}}$、

${\displaystyle \omega _{Z}={\dot {\alpha }}\cos {\beta }+{\dot {\gamma }}=\omega _{3}}$。

注意到附體參考系B的${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$就是歐拉角的${\displaystyle {\hat {\mathbf {X} }}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {Y} }}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {Z} }}}$，所以，向量${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$是附體參考系B旋轉的角速度。

總結，向量${\displaystyle \mathbf {F} (t)}$對於時間的導數為

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}={\frac {\mathrm {d} F_{i}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {F} }$。

設定${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }}$、${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {body} }}$分別為從空間參考系S、附體參考系B觀測到的向量${\displaystyle \mathbf {F} (t)}$對於時間的導數，上述方程式可以表達為

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {body} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {F} }$。

項目 ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {F} }$可以想像為，從空間參考系S觀測，剛體內部位置向量為${\displaystyle \mathbf {F} }$的質點，由於剛體旋轉而產生的速度。

向量${\displaystyle \mathbf {F} (t)}$是任意向量，因此可以將${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }}$、${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {body} }}$當作算符，這樣，對應的算符方程式的形式為：

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {body} }+{\boldsymbol {\omega }}\times }$。

這算符方程式可以作用於任意含時向量。

根據沙勒定理，剛體的最廣義位移等價於一個平移加上一個旋轉。[3]挑選剛體內部一點G來代表整個剛體，設定附體參考系B的原點於基點G，則從空間參考系S觀測，在剛體內部任意一點P的位置${\displaystyle \mathbf {r} _{P}}$為

${\displaystyle \mathbf {r} _{P}=\mathbf {r} _{G}+\mathbf {r} _{P/G}}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} _{G}}$、${\displaystyle \mathbf {r} _{P/G}}$分別是基點G的位置、點P對於基點G的相對位置。

點P的速度${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{P}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }}$為

${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=\mathbf {v} _{G}+\mathbf {v} _{P/G}}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {v} _{G}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{G}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }}$、${\displaystyle \mathbf {v} _{P/G}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{P/G}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }}$分別是基點G的速度、點P對於基點G的相對速度。

應用前段推導出的適用於任意含時向量的算符方程式，可以計算出${\displaystyle \mathbf {v} _{P/G}}$。由於從附體參考系B觀測，剛體內部每一點的位置都固定不變，項目${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{P/G}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {body} }}$等於零：

${\displaystyle \mathbf {v} _{P/G}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{P/G}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {body} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{P/G}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{P/G}}$；

其中，${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$是剛體的角速度向量。

所以，點P的速度為

${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=\mathbf {v} _{G}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{P/G}}$。

點P的加速度${\displaystyle \mathbf {a} _{P}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{P}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }}$為

${\displaystyle \mathbf {a} _{P}=\mathbf {a} _{G}+\mathbf {a} _{P/G}}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {a} _{G}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{G}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }}$、${\displaystyle \mathbf {a} _{P/G}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{P/G}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }}$分別是基點G的速度、點P對於基點G的相對速度。

再應用前段推導出的算符方程式，可以計算出

${\displaystyle \mathbf {a} _{P/G}=\left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }\times \mathbf {r} _{P/G}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{P/G}={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} _{P/G}+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{P/G})}$；

其中，${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=\left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }}$是附體參考系B旋轉的角加速度向量。