凸共轭

函数${\displaystyle f:X\rightarrow (-\infty ,+\infty ]}$在扩展的实数轴上取值。

它的凸共轭定义为：${\displaystyle f^{\star }:X^{*}\rightarrow (-\infty ,+\infty ]:x^{*}\rightarrow \sup\{\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)\mid x\in X\}}$

这里，${\displaystyle X}$表示实賦範向量空間，${\displaystyle X^{*}}$表示${\displaystyle X}$的对偶空间。

映射${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X^{*}\times X\rightarrow (-\infty ,+\infty ]}$表示一个二次型，满足：对于${\displaystyle X^{*}}$（${\displaystyle X}$）中任意非零元素${\displaystyle x^{*}}$，总能在${\displaystyle X}$（对应地，${\displaystyle X^{*}}$）中找到一个元素${\displaystyle x}$使得${\displaystyle \left\langle x^{*},x\right\rangle =0}$。

1. 仿射变换${\displaystyle f(x)=\left\langle a,x\right\rangle -b,\,a\in \mathbb {R} ^{n},b\in \mathbb {R} }$；它的凸共轭是：

${\displaystyle f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}b,&x^{*}=a\\+\infty ,&x^{*}\neq a.\end{cases}}}$

1. 幂函数${\displaystyle f(x)={\frac {1}{p}}|x|^{p},\,1<p<\infty }$；它的凸共轭是：

${\displaystyle f^{\star }\left(x^{*}\right)={\frac {1}{q}}|x^{*}|^{q},\,1<q<\infty }$ 这里 ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.}$

1. 绝对值变换${\displaystyle f(x)=\left|x\right|}$；它的凸共轭是：

${\displaystyle f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}0,&\left|x^{*}\right|\leq 1\\\infty ,&\left|x^{*}\right|>1.\end{cases}}}$

1. 指数函数

${\displaystyle f(x)=\,\!e^{x}}$；它的凸共轭是： ${\displaystyle f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}x^{*}\ln x^{*}-x^{*},&x^{*}>0\\0,&x^{*}=0\\\infty ,&x^{*}<0.\end{cases}}}$