反餘弦

反餘弦的數學符號是${\displaystyle \arccos }$，最常被計為${\displaystyle \cos ^{-1}}$。在不同的編程語言和有些計算器則使用acos或acs。

原始的定義是將餘弦函數限制在${\displaystyle [0,\pi ]}$（[0,180°]）的反函數
在複變分析中，反餘弦是這樣定義的:

${\displaystyle \arccos x=-{\mathrm {i} }\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,}$

這個動作使反餘弦被推廣到複數。

拓展到複數的反餘弦函數

反餘弦函數是一個定義在區間${\displaystyle \left[-1,1\right]}$的嚴格遞減連續函數。

${\displaystyle \arccos$ :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[0,\pi \right]}

（${\displaystyle \arccos$ :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[0,180^{\circ }\right]} ）

其圖形是對稱的，即對稱於點${\displaystyle \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)}$，或表示為${\displaystyle \left(0,90^{\circ }\right)}$，所以滿足${\displaystyle \arccos x=\pi -\arccos \left(-x\right)=180^{\circ }-\arccos \left(-x\right)}$
反餘弦函數的導數是：
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$.
反餘弦函數的泰勒級數是：

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos x&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(x+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |x|\leq 1\end{aligned}}}$

基於上述級數在${\displaystyle |x|}$接近1時收斂速度十分緩慢，在${\displaystyle x=-1}$求得的泰勒級數是：

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos x&{}=\pi -{\sqrt {2(x+1)}}\left(1+\left({\frac {1}{4}}\right){\frac {x+1}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{4\cdot 8}}\right){\frac {(x+1)^{2}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{4\cdot 8\cdot 12}}\right){\frac {(x+1)^{3}}{7}}+\cdots \right)\\&{}=\pi -{\sqrt {2(x+1)}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{3n}(n!)^{2}}}\right){\frac {(x+1)^{n}}{(2n+1)}}\end{aligned}}}$

由於先前描述的對稱關係${\displaystyle \arccos x=\pi -\arccos \left(-x\right)}$，可由上式計算${\displaystyle |x|}$接近1時的反餘弦值。

也可以用反餘弦和差公式將兩個餘弦值合併成一個餘弦值:

${\displaystyle \arccos x_{1}+\arccos x_{2}={\begin{cases}\arccos \left(x_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}+x_{2}\geq 0\\2\pi -\arccos \left(x_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}+x_{2}<0\end{cases}}}$

${\displaystyle \arccos x_{1}-\arccos x_{2}={\begin{cases}-\arccos \left(x_{1}x_{2}+{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}\geq x_{2}\\\arccos \left(x_{1}x_{2}+{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}<x_{2}\end{cases}}}$.

直角三角形的輻角為其鄰邊和斜邊之間的比率的反餘弦值。

• 餘弦
• 反正弦