泛性质

具有泛性质的构造不一定存在。给定上述函子U和对象X，从X到U（或从U到X）的泛态射不一定存在。然而，若其存在，则该构造在同构下唯一。也就是说，若(A′, φ′)为另一个满足该条件的泛态射，则存在唯一的同构态射g : A → A′满足φ′ = U(g)φ。用(A′, φ′)代替定义中的(Y, f)易知该结论成立。

泛态射可通过其它途径定义。设U为从D到C的函子，X为C的对象，则下列语句等价：

• (A, φ)为从X到U的泛态射
• (A, φ)为逗号范畴(X ↓ U)的始对象
• (A, φ)为Hom_C(X, U—)的表示。

其对偶语句也同样等价：

• (A, φ)为从U到X的泛态射
• (A, φ)为逗号范畴(U ↓ X)的终对象
• (A, φ)为Hom_C(U—, X)的表示。

设(A₁, φ₁)为从X₁到U的泛态射，(A₂, φ₂)为从X₂到U的泛态射。根据泛性质，对任意态射h : X₁ → X₂，存在唯一态射g : A₁ → A₂使得下图可交换：

若对任意C的对象X_i存在到U的泛态射，则映射X_i ${\displaystyle \mapsto }$ A_i和h ${\displaystyle \mapsto }$ g确定一个函子 V : C → D。此时，φ_i确定从1_C（C上的恒等函子）到U V的一个自然变换。因此(V, U)构成一对伴随函子，V左伴随U，U右伴随V。

利用对偶原则同样可得U的右伴随函子V : C → D。

事实上，所有的伴随函子都产生与类似的泛构造。设F和G为一对伴随函子，单位元为&eta，上单位元为&epsilon（定义见伴随函子）。任意C和D的对象存在泛态射。

• 对任意C的对象X，(F(X), η_X)为从X到G的泛态射。即，对任意f : X → G(Y)，存在唯一g : F(X) → Y使得下图可交换。
• 对任意D的对象Y，(G(Y), ε_Y)为从F到Y的泛态射。即，对任意g : F(X) → Y，存在唯一f : X → G(Y)使得下图可交换。

伴随函子对的泛性质

泛构造的概念广于伴随函子：泛构造类似优化问题，伴随函子存在当且仅当该优化问题对任何C的对象（或对任何D的对象）均存在解。

设C为域K上的向量空间范畴 K-Vect，D为K上的代数范畴（假定满足unitall和结合律），U为将代数映射为所基向量空间的遗忘函子。

给定任何基于K的向量空间V，构造V的张量代数T(V)。此张量代数的泛性质体现为偶(T(V), i)（其中i : V → T(V)为一inclusion map）是从V到U的泛态射。

由于此方法适用于任何V，因此T为从K-Vect到K-Alg的函子，且为U的左伴随。

设D为一存在零态射的范畴（如群范畴），f : X → Y为D的一态射。f的核为满足下列条件的任意态射k : K → X：

• f k为从K到Y的零态射；
• 对任意态射k′ : K′ → X，若f k′为零态射，则存在唯一态射u : K′ → K满足k u = k′。

为理解上述同泛态射的关系，定义D中态射的范畴C，对象为D的所有态射f : X → Y，从f : X → Y到g : S → T的态射为一对态射α : X → S和β : Y → T构成的偶(α, β)，满足βf = fα。

定义函子F : D → C，映射对象K到零态射0_KK : K → K，映射态射r : K → L到偶(r, r)。

给定D的态射f : X → Y（看作C的对象）及D的对象K。从F(K)到f的态射为偶(k, l)满足f k = l 0_KK = 0_KY（此即为上述核的泛性质）。可以看出，“从F到f的泛态射”即为核的泛性质。

极限与上极限为范畴论中重要的泛构造。设J为小范畴、C为范畴，J看作为C的索引范畴。记C^J为相应的函子范畴。对角函子 Δ : C → C^J 将C中每个对象N映射到常函子Δ(N) : J → C to N (i.e. 对任意X属于J有Δ(N)(X) = N).

给定函子F : J → C（看作C^J的对象），F的极限，若存在，即为从Δ到F的泛态射。由对偶性质，F的上极限为F到Δ的泛态射。