微分叠

回想在广群中纤维化的范畴（或称广群纤维化），包含范畴${\displaystyle {\mathcal {C}}}$、到微分流形范畴的函子${\displaystyle \pi$ :{\mathcal {C}}\to \mathrm {Mfd} } ，并满足

1. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$是纤维范畴，即对任意对象${\displaystyle u\in {\mathcal {C}}}$和任意箭头${\displaystyle V\to U\ \in \mathrm {Mfd} }$，都有箭头${\displaystyle v\to u}$，在${\displaystyle V\to U}$上；
2. 对${\displaystyle \mathrm {Mfd} }$中的任意交换三角${\displaystyle W\to V\to U}$及${\displaystyle W\to U}$上的任意箭头${\displaystyle w\to u}$、${\displaystyle V\to U}$上的${\displaystyle v\to u}$，在${\displaystyle W\to V}$上存在唯一的箭，使三角${\displaystyle w\to v\to u}$交换。

这些性质确保${\displaystyle \forall U\in \mathrm {Mfd} }$，都可以定义其纤维${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$或${\displaystyle {\mathcal {C}}_{U}}$，作为${\displaystyle {\mathcal {C}}}$的子范畴，由${\displaystyle {\mathcal {C}}}$在U上的所有对象和在${\displaystyle id_{U}}$上的所有态射组成。根据这构造，${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$是广群。叠是满足胶合性质的广群纤维，用下降表述。

任何流形X都定义了其切片范畴 ${\displaystyle F_{X}=\mathrm {Hom} _{\mathrm {Mdf} }(-,X)}$，对象是流形U与光滑映射${\displaystyle f:U\to X}$组成的对子${\displaystyle (U,f)}$；则${\displaystyle F_{X}\to \mathrm {Mdf} ,(U,f)\mapsto U}$是广群纤维，实际上也是叠。广群纤维的态射${\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$若满足以下条件，则称作可表浸没：

• 对流形U和任意态射${\displaystyle F_{U}\to {\mathcal {D}}}$，纤维积${\displaystyle {\mathcal {C}}\times _{\mathcal {D}}F_{U}}$可表，即（对某个流形Y，）与作为广群纤维的${\displaystyle F_{V}}$同构；
• 诱导光滑映射${\displaystyle V\to U}$是浸没。

对流形X，微分叠是叠${\displaystyle \pi$ :{\mathcal {C}}\to \mathrm {Mfd} } 与特殊的可表浸没${\displaystyle F_{X}\to {\mathcal {C}}}$（上述每个浸没${\displaystyle V\to U}$都需要是满射）。映射${\displaystyle F_{X}\to {\mathcal {C}}}$称作叠X的图集、呈现或覆叠。[5][6]

回想范畴${\displaystyle {\mathcal {C}}}$上（广群的）预叠（也称作2-预层），是2-函子 ${\displaystyle X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$，其中${\displaystyle \mathrm {Grp} }$是（集合论）广群的2-范畴、及其间的态射和自然变换。叠是满足胶合性质的预叠（类似层满足的胶合性质）。要精确说明这性质，需要定义景上的（预）叠，即配备了格罗滕迪克拓扑的范畴。

所有对象${\displaystyle M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}$定义了叠${\displaystyle {\underline {M}}:=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,M)}$，与另一对象${\displaystyle N\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}$关联，形成态射${\displaystyle N\to M}$的广群${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(N,M)}$。现有叠${\displaystyle X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$，若有对象${\displaystyle M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}$与叠的态射${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$（常称作叠X的图集、呈现或覆叠）满足以下性质，则称其几何的：

• 态射${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$可表，即${\displaystyle \forall Y\in {\mathcal {C}}}$和任何态射${\displaystyle Y\to X}$，纤维积${\displaystyle {\underline {M}}\times _{X}{\underline {Y}}}$同构于作为叠的${\displaystyle {\underline {Z}}}$（对某对象Z）；
• 诱导态射${\displaystyle Z\to Y}$满足取决于范畴${\displaystyle {\mathcal {C}}}$的范畴（如对流形，是要满足浸没。

微分叠是${\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathrm {Mfd} }$（微分流形范畴，视作具有通常开覆叠拓扑的景）上的叠，即2-函子${\displaystyle X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$，其也满足几何性，即承认上面定义的图集${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$。[7][8]

注意，将${\displaystyle \mathrm {Mfd} }$换成仿射概形范畴，就恢复到标准代数叠概念。相似地，把${\displaystyle \mathrm {Mfd} }$换成拓扑空间范畴，就得到拓扑叠定义。

回想李群胚，包含两微分流形G、M、两满射浸没${\displaystyle s,t:G\to M}$、偏乘法映射${\displaystyle m:G\times _{M}G\to G}$、单位映射${\displaystyle u:M\to G}$、逆映射${\displaystyle i:G\to G}$，满足类似群的相容性。

两个李群胚${\displaystyle G\rightrightarrows M}$、${\displaystyle H\rightrightarrows N}$间若有主双丛P，即有主右H丛${\displaystyle P\to M}$、主左G丛${\displaystyle P\to N}$，使得对P的两作用交换，则称G、H森田等价。森田等价是李群胚间的等价，比同构弱，但足以保留许多几何性质。

微分叠记作${\displaystyle [M/G]}$，是某李群胚${\displaystyle G\rightrightarrows M}$的森田等价类。[5][9]

任何纤维范畴${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf} }$都定义了2-层${\displaystyle X:\mathrm {Mdf} ^{opp}\to \mathrm {Grp} ,U\mapsto \pi ^{-1}(U)}$。反过来，任何预叠${\displaystyle X:\mathrm {Mdf} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$给出了范畴${\displaystyle {\mathcal {C}}}$，其对象是流形U与对象${\displaystyle x\in X(U)}$的对子${\displaystyle (U,x)}$，态射是映射${\displaystyle \phi$ :(U,x)\to (V,y)} ，使${\displaystyle X(\phi )(y)=x}$。这样的${\displaystyle {\mathcal {C}}}$配备函子${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf} ,(U,x)\mapsto U}$后，成为纤维范畴。

定义1、2中叠的胶合性质等价，同样，定义1中的图集诱导了定义2中的图集，反之亦然。[5]

李群胚${\displaystyle G\rightrightarrows M}$给出了微分叠${\displaystyle BG:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$，将任何流形N发送到N上的G-旋子的范畴（即G-主丛）。${\displaystyle G\rightrightarrows M}$的森田类中，任何其他李群胚都诱导了一个同构叠。

反过来，任何微分叠${\displaystyle X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$都是${\displaystyle BG}$形式，即可由李群胚表示。更精确地说，若${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$是叠X的图集，则可定义李群胚${\displaystyle G_{X}:=M\times _{X}M\rightrightarrows M}$，并检查${\displaystyle BG_{X}}$是否同构于X。

Dorette Pronk提出的一个定理指出，定义1的微分叠与李群胚之间的双范畴具有森田等价性。[10]

给定M上的李群作用${\displaystyle a:M\times G\to M}$，其商（微分）叠是代数几何中商（代数）叠的可微部分。其定义为与流形X、主G-丛范畴${\displaystyle P\to X}$和G-等价映射${\displaystyle \phi :P\to M}$相联系的叠${\displaystyle [M/G]}$，是由叠态射${\displaystyle {\underline {M}}\to [M/G]}$表示的微分叠，在任意流形X上的定义如下：

$${\displaystyle {\underline {M}}(X)=\mathrm {Hom} (X,M)\to [M/G](X),\quad f\mapsto (X\times G\to X,\phi _{f})}$$

其中${\displaystyle \phi _{f}:X\times G\to M}$是G-等价映射${\displaystyle \phi _{f}=a\circ (f\circ \mathrm {pr} _{1},\mathrm {pr} _{2}):(x,g)\mapsto f(x)\cdot g}$。[7]

叠${\displaystyle [M/G]}$对应作用广群${\displaystyle M\times G\rightrightarrows M}$的森田等价类。于是，可得到下列特殊情形：

• 若M是点，则微分叠${\displaystyle [M/G]}$与${\displaystyle BG}$重合
• 若作用是半正则紧合作用（于是商${\displaystyle M/G}$是流形），则微分叠${\displaystyle [M/G]}$与${\displaystyle {\underline {M/G}}}$重合
• 若作用是紧合作用（于是商${\displaystyle M/G}$是轨形），则微分叠${\displaystyle [M/G]}$与轨形定义的叠重合