可收缩空间

一些可收缩空间和不可收缩空间的说明,空间A、B、C是可收缩的,D、E、F不是。
拓扑空间X上的恒等映射是零伦的(即与某常数映射同伦),则称拓扑空间是可收缩空间[1][2]直观地说,可收缩空间就是可以不断收缩到某点的空间。

性质

可收缩空间是具有点的同伦类的空间;可见,可收缩空间的所有同伦群都是平凡群。因此,任何具有非平凡同伦群的空间都不可收缩;由于奇异同调是同伦不变量,因此可收缩空间的既约同调群都是平凡的。

对拓扑空间X,下面这些情况等价:

  • X是可收缩的(即恒等映射零伦)
  • X与单点空间同伦等价
  • X收缩到一点上(不过也存在不强烈收缩到一点的可收缩空间)
  • 对任意路径连通空间Y,任意两映射f,g: XY同伦
  • 对任意空间Y,任意映射f: YX是零伦的。

空间X上的都可收缩。于是,任何空间都可嵌入到可收缩空间(这也说明,可收缩空间的子空间不一定可收缩)。

此外,当且仅当存在X的锥到X收缩时,X才可收缩。

可收缩空间都是道路联通单连通的。另外,由于所有更高的同伦群都为零,因此对所有n ≥ 0,每个可收缩空间都是n-连通的。

局部可收缩空间

若对点x的所有邻域U,都有U中的x的邻域V使V的包含在U中零伦,则称拓扑空间X在点x局部可收缩。若空间在每点都可收缩,则称空间为局部可收缩空间。这个定义有时也称作“几何拓扑学家的局部可收缩”,是这术语最常见的用法。艾伦·哈切尔的标准代数拓扑学文本中,这个定义被称作“弱局部可收缩”,还有其他用途。

若每点都有可收缩邻域的邻域基,则称X强局部可收缩的。可收缩空间不一定是局部可收缩的,反之亦然。例如,梳空间是可收缩的,但不是局部可收缩的(若是,则就会是局部连通的,但并不是)。局部可收缩空间是局部n连通的(n ≥ 0),还是局部单联通空间局部路径连通、局部连通的。圆是(强)局部可收缩空间,但不是可收缩空间。

强局部可收缩性是严格强于局部可收缩性的性质,反例是复杂的,第一个反例由卡罗尔·博苏克和Mazurkiewicz在论文Sur les rétractes absolus indécomposables, C.R.. Acad. Sci. Paris 199 (1934), 110-112)中给出。

关于哪个定义才是局部可收缩的“标准”定义,有一些分歧;第一个定义更常用于几何拓扑,历史上尤多,而第二个定义更符合“局部”一词在拓扑性质方面的典型用法。在解释有关这些性质的结果时,应始终注意定义。

例子与反例

参考文献

  1. Munkres, James R. 2nd. Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2.
  2. Hatcher, Allen. . Cambridge University Press. 2002 [2023-12-11]. ISBN 0-521-79540-0. (原始内容存档于2012-02-06).
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