向量空间

向量空間是一群可縮放和相加的數學實體（如實數甚至是函数）所構成的特殊集合，其特殊之處在於縮放和相加後仍屬於這個集合。這些數學實體被稱為向量，而向量空間正是線性代數的主要研究对象。

向量空間是可以縮放和相加的（叫做向量的）對象的集合

正式定義

給定域 $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 和某集合 $V$ ，它們具有了以下兩種运算（函数）：[1]

向量加法 $\oplus :V\times V\to V$ （其中 $\oplus (u,\,v)$ 慣例上簡記為 $u\oplus v$ ）
标量乘法 $\cdot :K\times V\to V$ （其中 $\cdot \,(a,\,v)$ 慣例上簡記為 $a\cdot v$ 甚至是 $av$ ）

且這兩種運算滿足：（特別注意 $+$ 和 $\times$ 是域 $K$ 是本身具有的加法和乘法）

名稱		前提條件	內容
向量加法	的单位元與逆元素	存在 $V$ 的元素 $e\in V$ 對所有 $u\in V$	有 $e\oplus u=u\oplus e=u$
	的单位元與逆元素	存在 $V$ 的元素 $e\in V$ 對所有 $u\in V$	且存在 $w\in V$ 使得 $w\oplus u=u\oplus w=e$
	的结合律	對所有 $u,\,v,\,w\in V$	$u\oplus (v\oplus w)=(u\oplus v)\oplus w$
	的交换律	對所有 $u,\,v\in V$	$u\oplus v=v\oplus u$
标量乘法	的单位元	對所有 $u\in V$	若 $1_{K}\in K$ 是 $K$ 的乘法单位元，則 $1_{K}\cdot u=u$
	对向量加法的分配律	對所有 $u,\,v\in V$ 和所有 $a\in K$	$a\cdot (u\oplus v)=a\cdot u\oplus a\cdot v$
	对域加法的分配律	對所有 $u\in V$ 和所有 $a,\,b\in K$	$(a+b)\cdot u=a\cdot u\oplus b\cdot u$
	与域乘法	對所有 $u\in V$ 和所有 $a,\,b\in K$	$a\cdot (b\cdot u)=(a\times b)\cdot v$

這樣稱「 $V$ 為定義在域 $K$ 上的向量空間」，而 $V$ 裡的元素 $u\in V$ 被稱為向量；域 $K$ 裡的元素 $a\in K$ 被稱為标量。這樣域 $K$ 就是囊括所有标量的集合，所以為了解說方便，有時會將 $K$ 暱稱為标量域或是标量母空間。在不跟域的加法混淆的情況下，向量加法 $\oplus$ 也可以簡寫成 $+$ 。

前四個條件規定 $\left(V,\,\oplus \right)$ 是交換群。上述的完整定義也可以抽象地概述成「 $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 是個域，且 $V$ 是一個 $K-$ 模」。

基本性质

以下定理都沿用正式定義一節的符號與前提條件。

定理 (1) — 向量加法的單位元是唯一的。

以上的定理事實上繼承自群的單位元唯一性。這樣的話，可以仿造群的習慣以記號 $0_{V}$ 代表「向量加法 $\oplus$ 的唯一單位元」，並稱之為 $V$ 的零向量。

在不跟标量域的加法單位元 $0_{K}\in K$ 混淆的情況下，零向量 $0_{V}\in V$ 也可以簡寫成 $0$ 。

定理 (2) — 任意向量的向量加法逆元素是唯一的。

以上的定理事實上繼承自群的逆元唯一性，這樣的話，可以仿造群的習慣以 $u^{-1}$ 代表「向量 $u$ 在向量加法 $\oplus$ 下的唯一逆元素」，甚至可以把 $v\oplus u^{-1}$ 簡記為 $v\ominus u$ ，並暱稱為向量減法。在不跟标量的加法混淆的情況下， $u^{-1}$ 也可記為 $-u$ ； $v\ominus u$ 也可記為 $v-u$ 。

定理 (3) — 對所有的純量 $a\in K$ 都有 $a\cdot 0_{V}=0_{V}$ 。（零向量的伸縮還是零向量）

證明

考慮到标量乘法对向量加法的分配律和零向量的性質會有

a\cdot 0_{V}=a\cdot (0_{V}+0_{V})=a\cdot 0_{V}+a\cdot 0_{V}

那取向量 $u\in V$ 為 $a\cdot 0_{V}$ 的向量加法逆元素，配上向量加法的结合律和单位元的定義會有

${\begin{aligned}0_{V}&=u+a\cdot 0_{V}\\&=u+(a\cdot 0_{V}+a\cdot 0_{V})\\&=(u+a\cdot 0_{V})+a\cdot 0_{V}\\&=0_{V}+a\cdot 0_{V}\\&=a\cdot 0_{V}\\\end{aligned}}$

故得証。 $\Box$

定理 (4) — 對所有的向量 $u\in V$ ，若純量 $0_{K}\in K$ 是域加法的单位元，則 $0_{K}\cdot u=0_{V}$ 。

證明

考慮到域 $K$ 自身的定義，還有标量乘法对域加法的分配律的話有

0_{K}\cdot u=(0_{K}+0_{K})\cdot u=0_{K}\cdot u+0_{K}\cdot u

那取向量 $w\in V$ 為 $0_{K}\cdot u$ 的向量加法逆元素，配上向量加法的结合律和单位元的定義會有

0_{V}=w+0_{K}\cdot u=w+(0_{K}\cdot u+0_{K}\cdot u)=(w+0_{K}\cdot u)+0_{K}\cdot u=0_{V}+0_{K}\cdot u=0_{K}\cdot u

故得証。 $\Box$

定理 (5) — 對所有的向量 $u\in V$ 和标量 $a\in K$ ，如果 $a\cdot u=0_{V}$ ，则 $u=0_{V}$ 或 $a=0_{K}$ ( 其中 $0_{K}\in K$ 是域加法的单位元)。

證明

若 $K=\{0_{K}\}$ ，根據定理(3)本定理顯然成立。下面只考慮 $K\neq \{0_{K}\}$ 的狀況。

假設存在向量 $u\in V$ 和标量 $a\in K$ 滿足 $u\neq 0_{V}$ 且 $a\neq 0_{K}$ ，但 $a\cdot u=0_{V}$ 。若以 $1_{K}\in K$ 表示域的乘法單位元，那根據其性質與和定義關於标量乘法單位元的部分會有

${\begin{aligned}u&=1_{K}\cdot u\\&=(a\times {\frac {1}{a}})\cdot u\end{aligned}}$

那再根據定義關於标量乘法与域乘法的部分，還有域乘法的交換律會有

${\begin{aligned}u&=(a\times {\frac {1}{a}})\cdot u\\&=({\frac {1}{a}}\times a)\cdot u\\&={\frac {1}{a}}\cdot (a\cdot u)\end{aligned}}$

那再套用定理(3)和前提假設會有

${\begin{aligned}u&={\frac {1}{a}}\cdot (a\cdot u)\\&={\frac {1}{a}}\cdot 0_{V}\\&=0_{V}\end{aligned}}$

這跟前提假設是矛盾的，所以根據反證法和德摩根定理，對所有向量 $u\in V$ 和所有标量 $a\in K$ ，只有可能「 $u=0_{V}$ 或 $a=0_{K}$ 」或「 $a\cdot u\neq 0_{V}$ 」，但這段敘述正好等價於定理想證明的，故得証。 $\Box$

定理 (6) — 如果 $-a\in K$ 是 $a\in K$ 的域加法逆元素，那對所有的向量 $u\in V$ ， $a\cdot u$ 的向量加法逆元素必為 $-a\cdot u$ 。

證明

以下設純量 $0_{K}\in K$ 是域加法的单位元。

考慮到域 $K$ 自身的定義，還有标量乘法对域加法的分配律會有

0_{K}\cdot u=(-a+a)\cdot u=-a\cdot u+a\cdot u

0_{K}\cdot u=[a+(-a)]\cdot u=a\cdot u+(-a)\cdot u

然後考慮到前面的定理(4)，就有

0_{V}=0_{K}\cdot u=-a\cdot u+a\cdot u

0_{V}=0_{K}\cdot u=a\cdot u+(-a)\cdot u

然後考慮到定理(2)保證的逆元素唯一性，就可以知道向量 $a\cdot u$ 的加法逆元素必為 $-a\cdot u$ 。 $\Box$

系理 — 如果 ${-1}_{K}\in K$ 是域加法單位元 $1_{K}\in K$ 的域加法逆元素，那對所有的向量 $u\in V$ ，其向量加法逆元素必為 ${-1}_{K}\cdot u$ 。

額外結構

研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：

一個實數或複數向量空間加上長度概念（就是範數）則成為賦範向量空間。
一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念則成為內積空間。
一個向量空間加上拓撲結構并滿足連續性要求（加法及標量乘法是連續映射）則成為拓撲向量空間。
一個向量空間加上雙線性算子（定義為向量乘法）則成為域代數。

例子

對一般域 $F$ ， $V$ 记為 $F$ -向量空間。若 $F$ 是實數域 $ℝ$ ，则 $V$ 稱為實數向量空間；若 $F$ 是複數域 $ℂ$ ，则 $V$ 稱為複數向量空間；若 $F$ 是有限域，则 $V$ 稱為有限域向量空間。

最简单的 $F$ -向量空間是 $F$ 自身。只要定义向量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当 $F$ 是实数域 $ℝ$ 时，可以验证对任意实数 $a$ 、 $b$ 以及任意实数 $u$ 、 $v$ 、 $w$ ，都有：

$u + (v + w) = (u + v) + w$ ，
$v + w = w + v$ ，
零元素存在：零元素 $0$ 满足：对任何的向量元素 $v$ ， $v + 0 = v$ ，
逆元素存在：对任何的向量元素 $v$ ，它的相反数 $w = - v$ 就满足 $v + w = 0$ 。
标量乘法对向量加法满足分配律： $a (v + w) = a v + a w$ .
向量乘法对标量加法满足分配律： $(a + b) v = a v + b v$ .
标量乘法与标量的域乘法相容： $a (b v) =(ab) v$ 。
标量乘法有單位元： $ℝ$ 中的乘法单位元，也就是实数“1”满足：对任意实数 $v$ ， $1 v = v$ 。

更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面：平面上的每一点 $P$ 都有一个坐标 $P(x,y)$ ，并对应着一个向量 $(x,y)$ 。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间，记作ℝ²，因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组 $(x,y)$ 。可以验证，对于普通意义上的向量加法和标量乘法，ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上，向量空间是ℝ²的推广。

同样地，高维的欧几里得空间ℝⁿ也是向量空间的例子。其中的向量表示为 $v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$ ，其中的 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$ 都是实数。定义向量的加法和标量乘法是：

\forall \lambda \in \mathbb {R} ,\,v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n},\,w=(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}

，

v+w=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots ,a_{n}+b_{n})

\lambda v=\lambda (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\cdots ,\lambda a_{n})

可以验证这也是一个向量空间。

再考虑所有系数为实数的多项式的集合 $\mathbb {R} [X]$ 。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法， $\mathbb {R} [X]$ 也构成一个向量空间。更广泛地，所有从实数域射到实数域的连续函数的集合 ${\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ 也是向量空间，因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。

方程组与向量空间

向量空间的另一种例子是齐次线性方程组（常数项都是0的线性方程组）的解的集合。例如下面的方程组：

3x+2y-z=0

x+5y+2z=0

如果 $(x_{1},y_{1},z_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2},z_{2})$ 都是解，那么可以验证它们的“和” $(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})$ 也是一组解，因为：

3(x_{1}+x_{2})+2(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})=(3x_{1}+2y_{1}-z_{1})+(3x_{2}+2y_{2}-z_{2})=0

(x_{1}+x_{2})+5(y_{1}+y_{2})+2(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+5y_{1}+2z_{1})+(x_{2}+5y_{2}+2z_{2})=0

同样，将一组解乘以一个常数后，仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理，因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。

一般来说，当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时，方程组有无限多组解，并且这些解组成一个向量空间。

对于齐次线性微分方程，解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程：

f''+4xf'+\cos(x)f=0

出于和上面类似的理由，方程的两个解 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 的和函数 $f_{1}+f_{2}$ 也满足方程。可以验证，这个方程的所有解构成一个向量空间。

子空間基底

如果一個向量空間V的一個非空子集合W对于V的加法及標量乘法都封闭（也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中），那么将W称为V的線性子空間（简称子空间）。V的子空间中，最平凡的就是空間V自己，以及只包含0的子空间 ${0}$ 。

給出一個向量集合B，那么包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間，也称線性包络，记作span(B)。

給出一個向量集合B，若它的生成子空间就是向量空間V，则稱B為V的一个生成集。如果一个向量空間V拥有一个元素个数有限的生成集，那么就稱V是一个有限维空间。

可以生成一個向量空間V的線性獨立子集，稱為這個空間的基。若V={0}，约定唯一的基是空集。對非零向量空間V，基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后，空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能够把基中元素按下标排列： $\mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n},\cdots \right\}$ ，那么空间中的每一个向量v便可以通过座標系統來呈現：

v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}+\cdots

这种表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是说，向量空间的基提供了一个坐标系。

可以证明，一个向量空間的所有基都擁有相同基數，稱為該空間的維度。当V是一个有限维空间时，任何一组基中的元素个数都是定值，等于空间的维度。例如，各种實數向量空間：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ^∞,…中， ℝⁿ的維度就是n。在一个有限维的向量空间（维度是n）中，确定一组基 $\mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\right\}$ ，那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说，如果某个向量v表示为：

v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}

那么v可以用数组 $v=(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})$ 来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法，基中元素表示为：

e_{1}=(1,0,\cdots ,0)

e_{2}=(0,1,\cdots ,0)

e_{n}=(0,0,\cdots ,1)

可以证明，存在从任意一个n维的 $\mathbf {F}$ -向量空间到空间 $\mathbf {F} ^{n}$ 的双射。这种关系称为同构。

線性映射

給定兩個系数域都是F的向量空間V和W,定义由V到W的線性變換（或称线性映射）为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f：

f:\,V\rightarrow W

\forall a\in F,u,v\in V,\,f(u+v)=f(u)+f(v),\,f(a\cdot v)=a\cdot f(v)

所有线性变换的集合记为 ${\mathcal {L}}(V,W)$ ，这也是一个系数域为F的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后， ${\mathcal {L}}(V,W)$ 中的线性变换可以通过矩阵来表示。

如果两个向量空間V和W之间的一个線性映射是一一映射，那么这个线性映射称为（线性）同构，表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之間存在同構，那么稱這兩個空間為同構的。如果向量空間V和W之间存在同构 $f:\,V\rightarrow W$ ，那么其逆映射 $g:\,W\rightarrow V$ 也存在，并且对所有的 $x\in V,\,y\in W$ ，都有：

g\circ f(x)=x,\,f\circ g(y)=y

參考文獻

《中国大百科全书》
Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.
Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8

參考資料

Roman 2005, ch. 1, p. 27

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[1] Roman 2005, ch. 1, p. 27