模

假設R 是環(ring)且1_R ∈ R，1_R 是其乘法運算的單位元素，則左R-模包括一個交換群(M, +)，以及一個映射(或運算)⋅ : R × M → M (叫做純量乘法或數積，通常把此運算的值 (r,x) 記作 rx 或是 r ⋅ x，r ∈ R 且 x ∈ M ) ，並且滿足以下條件

對所有r,s ∈ R, x,y ∈ M,

1. ${\displaystyle (r\cdot s)\cdot x=r\cdot (s\cdot x)}$
2. ${\displaystyle r\cdot (x+y)=r\cdot x+r\cdot y}$
3. ${\displaystyle (r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x}$
4. ${\displaystyle 1_{R}\cdot x=x.}$

有數學家的左模定義並不要求環有單位乘法元素1_R，所以他們的定義只含以上前三個條件而排除了第四個條件，並把以上的定義稱為"帶單位元(1_R )的左模"。

一個左R-模M 記作_RM，類似的右R-模M 記作M_R。

一個右R-模M或M_R與左R-模的定義相似，只是環的元素在右邊，即其純量乘法是⋅ : M × R → M。在左R-模的定義中，環的元素r 和s 是在M 的元素x 的左邊。若R 是可交換的，則左R-模與右R-模是一樣的，簡稱為R-模。

若R 是一個域則R-模就是R-向量空間。模是向量空間的推廣，有很多與向量間相同的性質，但通常沒基底。

• 所有 交換群 M是一個在整數環Z的模，其純量乘法是nx = x + x + ... + x（n個相加）對於n > 0, 0x = 0，以及(-n)x = -(nx)對於n < 0。
• 若R是一個環而n是一個自然數，則 Rⁿ 是一個R-模。
• 若M是一個光滑流形，則由M至實數的光滑函数是一個環R。在M上的所有向量場組成一個R-模。
• 所有 n×n 實數矩陣 組成一個環R。 歐幾里得空間Rⁿ 是一個左R-模，當中純量乘法就是矩陣的純量乘法。
• 若R是一個環而I是其中一個 左理想 ，則I是一個左R-模。

假設M是左R-模兼N是M的子集。如果對於所有n ∈ N及r ∈ R，乘積rn ∈ N（若是右模，nr），則N是_RM的子模（或更準確地，R-子集）。

若M和N是左R-模，若映射 f : M -> N有對所有m, n ∈ M及r, s ∈ R，f(rm + sn) = rf(m) + sf(n)，則稱映射 f為R-模同態。像其他同態，模同態保存了模的結構。

若M是左R-模，則一個R中元素r之作用定義為映射M → M，它將每個x映至rx（或者在右模的情況是xr），這必然是阿貝爾群（M,+）的群自同態。全體M的自同態記作End_Z(M)，它在加法與合成下構成一環，而將R的元素r映至其作用則給出從R至End_Z(M)之同態。

如此的環同態R → End_Z(M)稱作R在阿貝爾群M上的一個表示。左R-模的另一種等價定義是：一個阿貝爾群M配上一個R的表示。

一個表示稱作忠實的，若且唯若R → End_Z(M)是單射。以模論術語來說，這意謂若r是R的元素，且使得對所有M中的x都有rx=0，則r=0。任意阿貝爾群皆可表成整數環Z或其某一商環Z/nZ的忠實表示。