向量球諧函數

與球諧函數相同，向量球諧函數有對稱性

${\displaystyle \mathbf {Y} _{l,-m}=(-1)^{m}\mathbf {Y} _{lm}^{*}\qquad \mathbf {\Psi } _{l,-m}=(-1)^{m}\mathbf {\Psi } _{lm}^{*}\qquad \mathbf {\Phi } _{l,-m}=(-1)^{m}\mathbf {\Phi } _{lm}^{*}}$

星號 * 代表共軛函數。

三種向量球諧函數彼此兩兩正交

${\displaystyle \mathbf {Y} _{lm}\cdot \mathbf {\Psi } _{lm}=0\qquad \mathbf {Y} _{lm}\cdot \mathbf {\Phi } _{lm}=0\qquad \mathbf {\Psi } _{lm}\cdot \mathbf {\Phi } _{lm}=0}$

另外同種類的球諧函數的內積為：

${\displaystyle \int \mathbf {Y} _{lm}\cdot \mathbf {Y} _{l'm'}^{*}\,\mathrm {d} \Omega =\delta _{ll'}\delta _{mm'}}$

${\displaystyle \int \mathbf {\Psi } _{lm}\cdot \mathbf {\Psi } _{l'm'}^{*}\,\mathrm {d} \Omega =l(l+1)\delta _{ll'}\delta _{mm'}}$

${\displaystyle \int \mathbf {\Phi } _{lm}\cdot \mathbf {\Phi } _{l'm'}^{*}\,\mathrm {d} \Omega =l(l+1)\delta _{ll'}\delta _{mm'}}$

對一個純量場 ${\displaystyle \phi }$，若其多極展開可表示為：

${\displaystyle \phi =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\phi _{lm}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )}$

則其梯度可以向量球諧函數表示為：

${\displaystyle \nabla \phi =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left({\frac {\mathrm {d} \phi _{lm}}{\mathrm {d} r}}\mathbf {Y} _{lm}+{\frac {\phi _{lm}}{r}}\mathbf {\Psi } _{lm}\right)}$

三種向量球諧函數之散度分別為：

${\displaystyle \nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {Y} _{lm}\right)=\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}+{\frac {2}{r}}f\right)Y_{lm}}$

${\displaystyle \nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{lm}\right)=-{\frac {l(l+1)}{r}}fY_{lm}}$

${\displaystyle \nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{lm}\right)=0}$

其中 ${\textstyle f(r)}$ 為球諧函數之徑向分布， ${\displaystyle Y_{lm}}$ 為球諧函數。

三種向量球諧函數之旋度分別為：

${\displaystyle \nabla \times \left(f(r)\mathbf {Y} _{lm}\right)=-{\frac {1}{r}}f\mathbf {\Phi } _{lm}}$

${\displaystyle \nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{lm}\right)=\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Phi } _{lm}}$

${\displaystyle \nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{lm}\right)=-{\frac {l(l+1)}{r}}f\mathbf {Y} _{lm}-\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Psi } _{lm}}$

其中 ${\textstyle f(r)}$ 為球諧函數之徑向分布

在沒有源的空間中，馬克士威方程組可以被簡化為

${\displaystyle \triangledown ^{2}\mathbf {E} +k_{m}^{2}\mathbf {E} =0}$

${\displaystyle \triangledown ^{2}\mathbf {H} +k_{m}^{2}\mathbf {H} =0}$

此處 ${\displaystyle \mathbf {E} }$是電場，${\displaystyle \mathbf {H} }$是H場，${\displaystyle k_{m}}$是介質中的波數。

因為向量球諧函數可以很正確的描述簡化後的電磁場方程式，所以在電動力學中，向量球諧函數獲得廣泛的利用。常見的應用如多極輻射或米氏散射等。