單子 (範疇論)

本條目中，${\displaystyle {\mathcal {C}}}$皆表示某範疇。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$上的單子是函子${\displaystyle T:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$，連同兩個自然變換，分別是單位${\displaystyle \eta :1_{\mathcal {C}}\to T}$（其中${\displaystyle 1_{\mathcal {C}}}$是${\displaystyle {\mathcal {C}}}$上的恆等函子）與乘法${\displaystyle \mu :T^{2}\to T}$（其中${\displaystyle T^{2}}$是複合${\displaystyle T\circ T}$，亦是${\displaystyle {\mathcal {C}}}$到${\displaystyle {\mathcal {C}}}$的函子），且要滿足下列連貫條件：

• ${\displaystyle \mu \circ T\mu =\mu \circ \mu T}$（左右皆為${\displaystyle T^{3}\to T}$的自然變換）。此處${\displaystyle T\mu }$與${\displaystyle \mu T}$經水平複合而得。
• ${\displaystyle \mu \circ T\eta =\mu \circ \eta T=1_{T}}$（兩者皆為${\displaystyle T\to T}$的自然變換）。此處${\displaystyle 1_{T}}$表示由函子${\displaystyle T}$到自身的恆等自然變換。

以上兩式，亦可以下列交換圖複述：

記號${\displaystyle T\mu }$與${\displaystyle \mu T}$的含義，參見自然變換，又或考慮以下更具體的寫法，不用水平複合記號，並將各函子作用在任意物件${\displaystyle X}$上：

定義中，若將${\displaystyle \mu }$當成幺半群的乘法，則第一條公理類似幺半群的乘法結合律，而第二條公理類似單位元的存在性（由${\displaystyle \eta }$給出）。準確而言，${\displaystyle {\mathcal {C}}}$上的單子，可以等價地定義為${\displaystyle {\mathcal {C}}}$的內函子範疇${\displaystyle \mathbf {End} _{\mathcal {C}}}$中的幺半群。（該範疇的物件是${\displaystyle C}$上的內函子，而態射是內函子間的自然變換，幺半結構來自內函子的複合運算。）如此，單子不僅在形式上具有與幺半群相似的公理，甚而單子就是幺半群的特例。

冪集單子${\displaystyle {\mathcal {P}}}$是集合範疇${\displaystyle \mathbf {Set} }$上的單子。其定義中，函子${\displaystyle T}$取為冪集運算，即${\displaystyle T(A)}$為集合${\displaystyle A}$的冪集，而對於函數${\displaystyle f:A\to B}$，${\displaystyle T(f)}$將${\displaystyle A}$的子集映至其像集，即${\displaystyle T(f)(A')=f[A']}$。對每個集合${\displaystyle A}$，有函數${\displaystyle \eta _{A}:A\to T(A)}$，對每個元素${\displaystyle a\in A}$映至單元子集${\displaystyle \{a\}}$， 並有函數

${\displaystyle \mu _{A}\colon T(T(A))\to T(A),}$

將${\displaystyle A}$的若干個子集構成的族，映至該些子集的並集。以上是冪集單子的定義。

兩個單子的複合，未必為單子。舉例，冪集單子${\displaystyle {\mathcal {P}}}$的二次疊代${\displaystyle {\mathcal {P}}\circ {\mathcal {P}}}$，無法配備單子結構。[2]

取上節定義的範疇論對偶，便是餘單子（或餘三元組）的定義。簡單複述，範疇${\displaystyle {\mathcal {C}}}$上的餘單子，是對偶範疇${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$上的單子。所以，餘單子是由${\displaystyle {\mathcal {C}}}$到${\displaystyle {\mathcal {C}}}$的某個函子${\displaystyle U}$，連同餘單位與餘乘法（英語：）兩個自然變換，組成的整體，而三者所要滿足的公理，是將原定義中所有態射反轉方向而得。

單子之於幺半群，如同餘單子之於餘幺半群。每個集合皆是餘幺半群，且僅有唯一一種方式，所以抽象代數中，較少考慮餘幺半群。然而，在線性代數中，向量空間範疇（配備張量積）的餘幺半群較為重要，以餘代數之名為人所知。

單子的概念最早由羅傑·戈德芒於1958年提出[3]，當時稱為「標準構造」（英語：）。實際上，該書用到的是餘單子，用作解決某個層餘調問題。

其後，單子又出現於彼得·胡伯（）對範疇同倫的研究中。該論文包含由任意一對伴隨函子得出單子的證明。[4]

1965年，海因里希·克萊斯利[5]，及塞缪尔·艾伦伯格、約翰·柯曼·摩爾二人[6]分別獨立證明反向的結論，即每個單子皆可由某對伴隨函子產生。後一篇論文中，將單子稱為「三元組」。

1963年，威廉·洛維爾提出泛代數的範疇論。1966年，弗雷德·林頓（）將該理論用單子的語言表達。[7]單子本身來自拓撲方面的考量，事先似乎比洛維爾的理論更難處理，但已成為用範疇論語言闡述泛代數的方法中，較常見的一個。現今常用的英文名稱是1971年由桑德斯·麥克蘭恩在《現職數學家用的範疇》引入，以其類似單子論中的同名哲學概念，即某種能生出其他所有事物的實體。

1980年代，歐金尼奧·莫吉在理論計算機科學中，利用單子，為電腦程式的若干方面建立模型，包括例外處理、邊界情況。[8]此後，有多種函數式編程語言仔細實作此想法，作為一種基本規律，同樣稱為單子。2001年，若干數學家注意到，用單子研究程式標誌語意的方法，與洛維爾的理論，兩者之間有關聯。[9]。此為代數與語義間的聯繫，是後來活躍的研究課題。

若有伴隨關係

${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightleftarrows {\mathcal {D}}:G}$

（即${\displaystyle F}$為${\displaystyle G}$的左伴隨，下同），則由此有${\displaystyle {\mathcal {C}}}$上的單子。此普遍的構造，取內函子為複合

${\displaystyle T=G\circ F,}$

而單位自然變換來自伴隨的單位${\displaystyle \eta$ :\operatorname {id} _{\mathcal {C}}\to G\circ F} ，乘法自然變換源自伴隨的餘單位${\displaystyle \varepsilon }$：

${\displaystyle T^{2}=G\circ F\circ G\circ F\xrightarrow {G\circ \varepsilon \circ F} G\circ F=T.}$

反之，給定單子，可以明確找回一對伴隨函子，使單子為該對伴隨函子的複合。此構造用到下節定義的${\displaystyle T}$代數的艾倫伯格－摩爾範疇${\displaystyle C^{T}}$。[10]

給定域${\displaystyle k}$，雙重對偶單子（英語：）源自伴隨關係

${\displaystyle (-)^{*}:\mathbf {Vect} _{k}\rightleftarrows \mathbf {Vect} _{k}^{\mathrm {op} }:(-)^{*},}$

其中兩個函子${\displaystyle (-)^{*}}$皆將${\displaystyle k}$向量空间${\displaystyle V}$映至對偶空間${\displaystyle V^{*}:=\operatorname {Hom} (V,k)}$，所以對應的單子將向量空間${\displaystyle V}$映至雙對偶${\displaystyle V^{**}}$。Kock (1970)對此有更廣泛的討論。

偏序集${\displaystyle (P,\leq )}$可以視為特殊的範疇，任意兩件物件之間有最多一支態射，且${\displaystyle x}$到${\displaystyle y}$有態射当且仅当偏序中${\displaystyle x\leq y}$。於是，偏序集之間的函子，即是保序映射，而伴隨函子對，則組成兩偏序集間的伽罗瓦连接，相應的單子是伽羅華連接的闭包算子。

又舉例，設${\displaystyle G}$為群範疇${\displaystyle \mathbf {Grp} }$至集合范畴${\displaystyle \mathbf {Set} }$的遺忘函子，將群映至其基集，又設${\displaystyle F}$為自由函子，由${\displaystyle \mathbf {Set} }$到${\displaystyle \mathbf {Grp} }$，則${\displaystyle F}$是${\displaystyle G}$的左伴隨。此時，對應的單子${\displaystyle T=G\circ F}$的作用是，輸入一個集合${\displaystyle X}$，輸出自由群${\displaystyle F(X)}$的基集，即字母取自${\displaystyle \{x,x^{-1}:x\in X\}}$，且無相鄰兩個字母互為逆元的字串的集合。

該單子的單位變換，由包含映射

${\displaystyle \eta _{X}:X\rightarrow T(X)}$

給出，該包含映射將${\displaystyle X}$的任意元素，看成僅得一個字元的字串，從而是${\displaystyle T(X)}$的元素。最後，單子的乘法

${\displaystyle \mu _{X}:T(T(X))\rightarrow T(X)}$

是串接或「壓平」運算，將若干條字串組成的串，映至該串中所有字串前後連接而成的一條字串。至此描述完單子的兩個自然變換。

前述例子中，自由群可以推廣至其他種類的代數結構，即泛代数意義下的任意一簇代數。如此，每類代數定義了集合範疇上的一個單子。更重要的是，該類代數的範疇，可從單子找回，即單子的艾倫伯格－摩爾代數範疇，故單子可視為泛代數之簇的推廣。

另外，尚有一個單子源自伴隨關係。在向量空間範疇${\displaystyle \mathbf {Vect} }$上，若${\displaystyle T}$表示將向量空間${\displaystyle V}$映至其张量代数${\displaystyle T(V)}$的內函子，則相應有單位自然變換將${\displaystyle V}$嵌入到其张量代数，並有乘法自然變換，在${\displaystyle V}$處的分量是態射${\displaystyle T(T(V))\to T(V)}$，將張量積之張量積展開化簡。

只要滿足某些不強的條件，無左伴隨的函子也可以產生單子，稱為餘密度單子。例如，從有限集合範疇${\displaystyle \mathbf {FinSet} }$到集合範疇${\displaystyle \mathbf {Set} }$的包含函子無法配備左伴隨，但其餘密度單子定義在${\displaystyle \mathbf {Set} }$上，將任意集合${\displaystyle X}$映至其上所有超滤子的集合${\displaystyle \beta X}$。 類似例子見於Leinster (2013)。

若${\displaystyle T}$為前述自由群單子，則${\displaystyle T}$代數是集合${\displaystyle X}$，連同由${\displaystyle X}$生成的自由群${\displaystyle F(X)}$到${\displaystyle X}$的映射（求值，），且該映射要滿足結合律與單位元的公理。換言之，${\displaystyle X}$本身就具有群結構，而${\displaystyle F(X)}$至${\displaystyle X}$的映射，是將字串按${\displaystyle X}$的群乘法，計算所得的結果

另一個例子是集合範疇上的分佈單子（英語：）${\displaystyle {\mathcal {D}}}$，其將集合${\displaystyle X}$映至其上所有有限支撐的概率分佈的集合。該等分佈，是函數${\displaystyle f:X\to [0,1]}$，僅於有限多個元素${\displaystyle x\in X}$處取值非零，而各元素處取值之和為${\displaystyle 1}$。以符號表示，

${\displaystyle {\mathcal {D}}(X)=\left\{f:X\to [0,1]:{\begin{matrix}\#{\text{supp}}(f)<+\infty ,\\\sum _{x\in X}f(x)=1\end{matrix}}\right\}.}$

可由定義證明，分佈單子上的代數，等同於凸集，即集合要配備二元運算${\displaystyle +_{r}}$（對每個${\displaystyle r\in [0,1]}$），滿足的公理比照歐氏空間中，凸組合${\displaystyle (x,y)\mapsto rx+(1-r)y}$具備的性質。[11][12]

另一個有用的單子，是交換環${\displaystyle R}$的模範疇${\displaystyle \mathbf {Mod} _{R}}$上的對稱代數單子

${\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(-):\mathbf {Mod} _{R}\to \mathbf {Mod} _{R}}$

將${\displaystyle R}$模${\displaystyle M}$映到各階對稱張量冪的直和

${\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(M)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\text{Sym}}^{k}(M)}$

其中${\displaystyle {\text{Sym}}^{0}(M)=R}$。例如，${\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(R^{\oplus n})\cong R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$，左右兩邊作為${\displaystyle R}$模同構。如此，對稱代數單子上的代數，是交換${\displaystyle R}$代數。類似地，也有反對稱張量單子${\displaystyle {\text{Alt}}^{\bullet }(-)}$與全張量單子${\displaystyle T^{\bullet }(-)}$，相應的代數分別是反對稱${\displaystyle R}$代數與自由${\displaystyle R}$代數，故

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Alt}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R(x_{1},\ldots ,x_{n}),\\{\text{T}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ,\end{aligned}}}$

前者是${\displaystyle R}$上添加${\displaystyle n}$個生成元的自由反對稱代數，而後者則是${\displaystyle n}$個生成元的自由代數。

對於可交換${\displaystyle \mathbb {S} }$代數，亦有類似的構造，[13]^:113對於可交換${\displaystyle \mathbb {S} }$代數${\displaystyle A}$，對應單子上的代數是可交換的${\displaystyle A}$代數。若${\displaystyle \mathbf {Mod} _{A}}$表示${\displaystyle A}$模的範疇，則可以考慮函子${\displaystyle \mathbb {P}$ :\mathbf {Mod} _{A}\to \mathbf {Mod} _{A}} ，定義為

${\displaystyle \mathbb {P} (M)=\bigvee _{j\geq 0}M^{j}/\Sigma _{j},}$

其中

${\displaystyle M^{j}=\underbrace {M\wedge _{A}\cdots \wedge _{A}M} _{j}.}$

此函子是單子，而由該單子上的代數範疇，可以得到可交換${\displaystyle A}$代數的範疇${\displaystyle {\mathcal {C}}_{A}}$。

設有伴隨關係${\displaystyle (F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}},G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}},\eta ,\varepsilon )}$，對應單子為${\displaystyle T}$，則函子${\displaystyle G}$可分解為

${\displaystyle {\mathcal {D}}\xrightarrow {\tilde {G}} {\mathcal {C}}^{T}\xrightarrow {F} {\mathcal {C}},}$

其中${\displaystyle F}$是遺忘函子。換言之，對${\displaystyle {\mathcal {D}}}$中任意物件${\displaystyle Y}$，都能賦予${\displaystyle G(Y)}$自然的${\displaystyle T}$代數結構。若分解式中，首個函子${\displaystyle {\tilde {G}}}$給出${\displaystyle {\mathcal {D}}}$與${\displaystyle C^{T}}$兩範疇間的等價，則形容該伴隨關係為單子的（英語：）。[14]後亦引申用作形容函子，若函子${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$有左伴隨${\displaystyle F}$，且該伴隨關係為單子的，則${\displaystyle G}$亦稱為單子的。例如，群範疇與集合範疇間的自由－遺忘伴隨是單子的，因為相應單子${\displaystyle T}$上的${\displaystyle T}$代數是群（見前文）。一般而言，若有伴隨關係${\displaystyle (F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}},G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}},\eta ,\varepsilon )}$為單子的，則單從${\displaystyle {\mathcal {C}}}$的物件及其上的${\displaystyle T}$作用，已足以重組出${\displaystyle {\mathcal {D}}}$的物件。

貝克單子性定理給出伴隨關係在何種充要條件下為單子的。定理有以下簡化版：

若滿足以下三項條件：

• ${\displaystyle G}$為保守函子，換言之，${\displaystyle G}$反映同構（英語：），即對${\displaystyle {\mathcal {D}}}$中每一支態射，其為同構當且僅當在${\displaystyle G}$作用下的像為${\displaystyle {\mathcal {C}}}$中的同構；
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$有餘等化子；
• ${\displaystyle G}$保餘等化子；

則${\displaystyle G}$為單子的。

例如，由緊豪斯多夫空间範疇${\displaystyle \mathbf {CHaus} }$到集合範疇${\displaystyle \mathbf {Set} }$的遺忘函子是單子的。然而，由任意拓撲空間範疇${\displaystyle \mathbf {Top} }$到集合範疇${\displaystyle \mathbf {Set} }$的遺忘函子則並非單子的，而定理中，保守函子的條件不成立，因為有非緊或非豪斯多夫空間，之間存在連續雙射，但不為同胚。[15] 貝克定理有對偶版本，刻劃餘單子伴隨關係，對拓撲斯論及有關下降的代数几何課題有用。

餘單子的伴隨關係，首先有下列例子：

${\displaystyle -\otimes _{A}B:\mathbf {Mod} _{A}\rightleftarrows \mathbf {Mod} _{B}:F,}$

其中${\displaystyle A,B}$皆為交換環，左伴隨用到的張量積${\displaystyle \otimes _{A}}$的定義中，選定了環同態${\displaystyle A\to B}$，而右伴隨${\displaystyle F}$是遺忘函子。根據貝克定理，當且僅當${\displaystyle B}$為忠實平坦${\displaystyle A}$模時，該伴隨為餘單子的。所以，可將配備下降數據（英語：，即源自伴隨關係的餘單子的作用）的${\displaystyle B}$模，降成${\displaystyle A}$模。所得的忠實平坦下降理論，廣泛應用於代數幾何。