泛代数

從泛代数角度來看，代數是擁有一組運算元的集合A。在A上的n元運算是以n個A的元素為輸入並返回一個A的元素的函數。这样，0元运算（空运算）可简单表示为A的一个元素或常数，通常用a表示。一元运算是简单的从A到A的函数，常用置于参数前的符号表示，如~x。二元运算通常用置于参数间的符号表示，如x*y。元数更高或不确定的运算通常用函数符号表示，参数放在括号中，例如f(x, y, z)或f(x₁,...,x_n)。那么，讨论代数的一种方式就是将其称为某${\displaystyle \Omega }$类代数，其中${\displaystyle \Omega }$是自然数的有序数列，表示代数运算的元数。不过也有研究者允许无穷元运算，如${\displaystyle \textstyle \bigwedge _{\alpha \in J}x_{\alpha }}$，其中J是无穷指标集，是完全格代数理论中的一种运算。

由等式定义的代数结构集合称作簇或等价类。

将研究范围限制在簇，就排除了

• 量化，包括全称量化（${\displaystyle \forall }$，等式前除外）和存在量化 （${\displaystyle \exists }$）
• 逻辑与（∧）之外的逻辑运算符
• 等式以外的关系，特别是形如a ≠ b不等式和序理论

等式类研究可看作是模型论的一支，通常处理只有运算的结构（类型中可以有函数的符号，但不能有等式以外的关系的符号）。谈论这种结构的语言只使用等式。

其不包含所有广义代数结构。例如，有序交换群涉及序关系，因此不属于这个范畴。

域类也不属于等式类，因为没有类型能把所有域法则写成等式（域中元素的逆适于所有非零元素，因此不能把逆加入类型中）。

这样限制的一个好处是，泛代数研究的结构可定义在任何具有有限积的范畴中。例如，拓扑群只是拓扑空间范畴中的一个群。

假设${\displaystyle \Omega }$类固定。泛代数中有三种基本构造：同态像、子代数与积。

两个代数A、B之间的同态是函数h: A → B，使得对A中的每个n元运算f_A和对应的B中n元运算f_B，都有h(f_A(x₁,...,x_n)) = f_B(h(x₁),...,h(x_n))（若可以看出函数来自哪个代数，则f的上下标就可去掉）。例如，若e是常数（空运算），那么 h(e_A) = e_B。若~是一元运算，那么h(~x) = ~h(x)。若∗是二元运算，那么h(x ∗ y) = h(x) ∗ h(y)，以此类推。我们可以取代数的同态像h(A)。

A 的子代数是A的子集，对A的所有运算都封闭。某个代数结构集合的积，指的是集合在坐标上定义的运算的笛卡尔积。

• 同构基本定理，包括群、环、模等的同构定理。
• 伯克霍夫HSP定理，其指出，一类代数当且仅当在同态像、子代数与任意直积下封闭时，可以构成簇。

除了统一方法之外，泛代数还给出了深奥的定理以及重要的示例和反例，为新代数研究提供了有用的框架。它可以将为某些代数发明的方法转移到其他类的代数，方法是用泛代数（如果可能的话）重新诠释之，然后将其解释为适用于其他类别的方法。它还澄清了概念；正如J.D.H. Smith所说：“在特定框架中看起来杂乱而复杂的东西，在适当的一般框架中可能会变得简单而明显”。

特别是，泛代数可用于幺半群、环和格的研究。在泛代数之前，许多定理（最知名的是同构基本定理）是在所有类别中分别证明的，但有了泛代数，就可以对每种代数系统进行一次性证明。

下面提到的Higgins 1956年的论文为一系列特定代数系统提供了框架而受到广泛关注，而他1963年的论文则对具有仅部分定义运算的代数的讨论而备受瞩目，典型的例子就是范畴和广群。这引出了高维代数的话题，可定义为研究具有部分运算的代数理论，其域是在几何条件下定义的。著名的例子是各种形式的高维范畴和广群。

还可用范畴论手段研究泛代数：可用特殊的范畴描述代数结构，称为劳维尔理论或更广义的代数论。相对地，也可用单子描述代数结构。这两种方法密切相关，各有优势。[3] 特别地，每个劳维尔理论都在集合范畴上给出了单子，而集合范畴的任何“有限”单子都产生于某个劳维尔理论。单子描述的是特定范畴（如集合范畴）中的代数结构，而代数论描述的是一大类范畴（即有有限积的范畴）中任何范畴的结构。

范畴论的最新发展是算元论——算元是一系列运算，类似于泛代数，但只允许在带变量的表达式间建立等式，不允许重复或省略变量。因此，环可悲描述为某些算元的所谓“代数”，但不能描述为群，因为${\displaystyle gg^{-1}=1}$在左侧重复了变量g，在右侧省略了变量g。起初这似乎是个麻烦的限制，但其结果是，算元有某些优势：例如，可以统一环和向量空间，得到结合代数，但无法统一环和向量空间。

另一处发展是偏代数，其中的运算可以是偏函数。某些偏函数也可通过所谓“本质代数论”的劳维尔理论推广来处理。[4]

泛代数的另一种推广是模型论，有时被描述为“泛代数+逻辑”。[5]

• 调和分析
• 測度
• 分析
• 微分幾何及拓撲
• 代數拓撲
• 代數幾何
• 抽象代數

• 图代数

• 项代数

• 克隆 (数学)

• 泛代数几何

• Bergman, George M., 1998. An Invitation to General Algebra and Universal Constructions （页面存档备份，存于） (pub. Henry Helson, 15 the Crescent, Berkeley CA, 94708) 398 pp. ISBN 0-9655211-4-1.
• Birkhoff, Garrett, 1946. Universal algebra. Comptes Rendus du Premier Congrès Canadien de Mathématiques, University of Toronto Press, Toronto, pp. 310–326.
• Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, 1981. A Course in Universal Algebra （页面存档备份，存于） Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 Free online edition.
• Cohn, Paul Moritz, 1981. Universal Algebra. Dordrecht, Netherlands: D.Reidel Publishing. ISBN 90-277-1213-1 (First published in 1965 by Harper & Row)
• Freese, Ralph, and Ralph McKenzie, 1987. Commutator Theory for Congruence Modular Varieties （页面存档备份，存于）, 1st ed. London Mathematical Society Lecture Note Series, 125. Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-34832-3. Free online second edition.
• Grätzer, George, 1968. Universal Algebra D. Van Nostrand Company, Inc.
• Higgins, P. J. Groups with multiple operators （页面存档备份，存于）. Proc. London Math. Soc. (3) 6 (1956), 366–416.
• Higgins, P.J., Algebras with a scheme of operators. Mathematische Nachrichten (27) (1963) 115–132.
• Hobby, David, and Ralph McKenzie, 1988. The Structure of Finite Algebras （页面存档备份，存于） American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3400-2. Free online edition.
• Jipsen, Peter, and Henry Rose, 1992. Varieties of Lattices （页面存档备份，存于）, Lecture Notes in Mathematics 1533. Springer Verlag. ISBN 0-387-56314-8. Free online edition.
• Pigozzi, Don. General Theory of Algebras （页面存档备份，存于）. Free online edition.
• Smith, J.D.H., 1976. Mal'cev Varieties, Springer-Verlag.
• Whitehead, Alfred North, 1898. A Treatise on Universal Algebra, Cambridge. (Mainly of historical interest.)

• Algebra Universalis （页面存档备份，存于）—a journal dedicated to Universal Algebra.