四維加速度

在狹義相對論的慣性座標系中，四維加速度${\displaystyle \mathbf {A} }$定義為四維速度${\displaystyle \mathbf {U} }$對一移動物體之原時${\displaystyle \tau }$的微分，也就是說

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}=\left(\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}c,\gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}\mathbf {u} \right)=\left(\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}^{4}{\frac {\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} \right)}{c^{2}}}\mathbf {u} \right)=\left(\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\gamma _{u}^{4}\left(\mathbf {a} +{\frac {\mathbf {u} \times \left(\mathbf {u} \times \mathbf {a} \right)}{c^{2}}}\right)\right)}$,

其中

${\displaystyle \mathbf {a} ={d\mathbf {u} \over dt}}$ ，應用到三維加速度${\displaystyle \mathbf {a} }$與三維速度${\displaystyle \mathbf {u} }$；

以及

${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{u}={\frac {\mathbf {a\cdot u} }{c^{2}}}\gamma _{u}^{3}={\frac {\mathbf {a\cdot u} }{c^{2}}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}}$

應用到速度${\displaystyle u}$（${\displaystyle |\mathbf {u} |=u}$）下的勞侖茲因子${\displaystyle \gamma _{u}}$。變數上方的點代表對本參考系座標時間${\displaystyle t}$的微分，而非對物體原時${\displaystyle \tau }$的微分。也就是說${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{u}={d\gamma _{u} \over dt}}$)。

在與該物體瞬時共同移動的慣性座標系中${\displaystyle \mathbf {u} =0}$, ${\displaystyle \gamma _{u}=1}$以及${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{u}=0}$。亦即在這樣的參考系中，

${\displaystyle \mathbf {A} =\left(0,\mathbf {a} \right)}$。

幾何學上來看，四維加速度是移動物體世界線的曲率向量。[2][3]

因此四維向量的大小（乃一純量）等同於物體沿世界線移動所「感受」到的固有加速度。

一物體的四維速度與四維加速度的內積（純量積）總是為0。

四維加速度與四維力之間有著簡單的關係式：

${\displaystyle F^{\mu }=mA^{\mu },}$

其中m是物體的不變質量。

當四維力為零，則僅只重力現象影響物體的軌跡，與牛頓第二運動定律相應的四維向量版本簡化為測地線方程式。依測地線移動的物體，其四維加速度為零；這表示重力其實不是一種力，而是受到扭曲的時空幾何。相應地，在牛頓力學，重力被當作一種力，其作用以三維加速度處理。

非慣性座標系，包括了狹義相對論中的加速座標系以及廣義相對論中的任意座標系。在這樣的座標系情況下，四維加速度為四維速度對原時的絕對導數：

${\displaystyle A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }}$

慣性座標系中，克里斯多福符號${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }}$皆為零，所以此式還原成上一節的式子。

值得注意的是：克里斯多福符號是在採用直角座標的慣性系中為零。若選用彎曲座標系以描述加速運動，則克里斯多福符號不全為零。

• 四維向量
• 四維速度
• 四維動量
• 四維力

• Papapetrou A. . D. Reidel Publishing Company. 1974. ISBN 90-277-0514-3.
• Rindler, Wolfgang. . Oxford: Oxford University Press. 1991. ISBN 0-19-853952-5.