曲线的微分几何

曲线的微分几何是几何学的一个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。

从古代开始，许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取另外一种方式：把曲线表示为参数形式，将它们的几何性质和各种量，比如曲率和弧长，用向量分析表示为导数和积分。分析曲线最重要的工具之一为 Frenet 标架，是一个活动标架，在曲线每一点附近给出“最合适”的坐标系。

曲线的理论比曲面理论及其高维推广的范围要狭窄得多，也简单得多。因为欧几里得空间中的正则曲线没有内蕴几何。任何正则曲线可以用弧长（“自然参数”）参数化，从曲线上来看不能知道周围空间的任何信息，所有曲线都是一样的。不同空间曲线只是由它们的弯曲和扭曲程度区分。数量上，这由微分几何不变量曲线的“曲率”和“挠率”来衡量。曲线基本定理断言这些不变量的信息完全确定了曲线。

定义

设 $n$ 是一个正整数， $r$ 是正整数或 $\infty$ ， $I$ 是实数非空区间， $t$ 属于 $I$ 。一个 $C^{r}$ 类（即 $\gamma$ 为 $r$ 次连续可微）向量值函数

\mathbf {\gamma } :I\to {\mathbb {R} }^{n}

称为一条 $C^{r}$ 类参数曲线或曲线 $\gamma$ 的一个 $C^{r}$ 参数化， $t$ 称为曲线 $\gamma$ 的参数， $\gamma (I)$ 称为曲线的像。将参数曲线 $\gamma$ 和它的像 $\gamma (I)$ 区别开来是非常重要的，因为一个给定的 ${\mathbb {R} }^{n}$ 的子集可以是许多不同的参数曲线的像。

可以想象参数 $t$ 代表时间，而曲线 $\gamma (t)$ 作为空间中一个运动粒子轨迹。

如果 I 是闭区间 [a, b]，我们称 γ(a) 为曲线 γ 的起点而 γ(b) 为终点。

如果 $\gamma (a)=\gamma (b)$ ，我们说 γ 是闭的或是一个环路。进一步，我们称 γ 是一条闭 C^r-曲线，如果 γ^(k)(a) = γ^(k)(b) 对所有 k ≤ r。

如果 ${\displaystyle \gamma$ 为单射，我们称为简单曲线。

如果参数曲线 $\gamma$ 局部可写成幂级数，我们称曲线解析或是 $C^{\omega }$ 类。

记号 - $\gamma$ 表示朝相反的方向运动的曲线。

一条 $C^{k}$ -曲线

{\displaystyle \gamma

称为 $m$ 阶正则当且仅当对任何 $t$ 属于 $I$

\lbrace \gamma '(t),\gamma ''(t),...,\gamma ^{(m)}(t)\rbrace {\mbox{, }}m\leq k

在 $\mathbb {R} ^{n}$ 中线性无关。

特别地，一条 $C^{1}$ -曲线 $\gamma$ 是正则的如果

\gamma '(t)\neq 0

对任何

t\in I\,.

重新参数化与等价关系

给定一条曲线的像我们可以定义曲线的许多不同的参数化。微分几何旨在描述在一定的参数化下不变的性质。所以我们需在所有参数曲线集合上定义一种合适的等价关系。曲线的微分几何性质（长度，Frenet 标架和广义曲率）在重新参数化下不变从而满足等价类性质。这个等价类称为 C^r 曲线，是曲线的微分几何研究的中心。

两个 C^r 参数曲线

\mathbf {\gamma _{1}} :I_{1}\to R^{n}

与

\mathbf {\gamma _{2}} :I_{2}\to R^{n}

要称为等价，就要存在一个 C^r 双射

\phi :I_{1}\to I_{2}

使得

\phi '(t)\neq 0\qquad (t\in I_{1})

和

\mathbf {\gamma _{2}} (\phi (t))=\mathbf {\gamma _{1}} (t)\qquad (t\in I_{1})\,.

γ₂ 称为 γ₁ 的重新参数化。这种 γ₁ 的重新参数化在所有参数 C^r 曲线的集合上定义了一种等价关系，其等价类称为 C^r 曲线。

对定向 C^r 曲线，我们可以定义一种“加细”的等价关系，要求 φ 满足 φ'(t) > 0。

等价的 C^r 曲线有相同的像；等价的定向 C^r 曲线有相同的运动方向。

长度与自然参数化

C¹ 曲线 γ : [a, b] → Rⁿ 的长度 l 可以定义为

l=\int _{a}^{b}\vert \mathbf {\gamma } '(t)\vert dt.

曲线的长度在重参数化下保持不变，从而是曲线的一个微分几何性质。

对任何正则 C^r （r 至少为 1）曲线 γ: [a, b] → Rⁿ 我们可以定义一个函数

s(t)=\int _{t_{0}}^{t}\vert \mathbf {\gamma } '(x)\vert dx.

写成

{\overline {\mathbf {\gamma } (s)}}=\gamma (t(s))

这里 t(s) 是 s(t) 的逆函数，我们得到 γ 的一个新参数化 ${\bar {\gamma }}$ ，称为自然、弧长或单位速度参数化；参数 s(t) 称为 γ 的自然参数。

我们偏爱这个参数，因为自然参数 s(t) 以单位速度转动 γ 的像，所以

\vert {\overline {\mathbf {\gamma } '(s(t))}}\vert =1\qquad (t\in I).

在实际中常常很难计算出一条曲线的自然参数，但在理论讨论中很有用。

给定一条参数化曲线 γ(t) 的自然参数化是在差一个参数移动的意义下是惟一的。

数量

E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\vert \mathbf {\gamma } '(t)\vert ^{2}dt

经常称为曲线的能量或作用量；这个名称是有理由的，因为测地线方程是这个作用量的欧拉-拉格朗日运动方程。

Frenet 标架

空间曲线一点的 Frenet 标架示意图。 T 是单位切向量，P 为单位法向量，B 是次法向量。

一个 Frenet 标架是一个移动的参考标架，由描述曲线在每一点 γ(t) 局部性质的n 个正交向量 e_i(t) 组成。这是微分几何处理曲线的主要工具，因为在这个局部参考系中，远比使用欧几里得那样的整体坐标系更容易和自然地描述局部性质（如曲率、挠率）。

给定 Rⁿ 中一条 n 阶正则 Cⁿ⁺¹-曲线 γ，曲线的 Frenet 标架是一组正交向量

\mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)

称为 Frenet 向量。它们是通过对 γ(t) 的各阶导数使用格拉姆-施密特正交化算法得到的：

\mathbf {e} _{1}(t)={\frac {\mathbf {\gamma } '(t)}{\|\mathbf {\gamma } '(t)\|}}

\mathbf {e} _{j}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)\|}}{\mbox{, }}{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)=\mathbf {\gamma } ^{(j)}(t)-\sum _{i=1}^{j-1}\langle \mathbf {\gamma } ^{(j)}(t),\mathbf {e} _{i}(t)\rangle \,\mathbf {e} _{i}(t)

实值函数 χ_i(t) 称为 广义曲率，定义为

\chi _{i}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{\|\mathbf {\gamma } ^{'}(t)\|}}

Frenet 标架和广义曲率在重新参数化下是不变的，故它们是曲线的微分几何性质。

特殊 Frenet 向量和广义曲率

最初三个 Frenet 向量和广义曲率可以在三维空间中看到。它们有额外的名字以及与名称相关更多信息。

切向量

如果曲線 γ 表示一個質點的軌跡，那麼質點在給定點 P 的瞬時速度用一個向量表示，稱為曲線在 P 的切向量。

數學表述為，給定一條曲線 γ = γ(t)，對參數 t 的任何值： t = t₀，向量：

\gamma '(t_{0})={\frac {d}{d\,t}}\mathbf {\gamma } (t),{t=t_{0}}

是點 P = γ(t₀) 的切向量。一般說，切向量可以為零向量。

切向量的長度：

\|\mathbf {\gamma } '(t_{0})\|

是在時間 t₀ 的速率。

第一個 Frenet 向量 e₁(t) 是在同一方向的單位切向量，在 γ 的每個正則點有定義：

\mathbf {e} _{1}(t)={\frac {\mathbf {\gamma } '(t)}{\|\mathbf {\gamma } '(t)\|}}.

如果 t = s 是自然參數則切向量有單位長，從而公式化簡為：

\mathbf {e} _{1}(s)=\mathbf {\gamma } '(s).

單位切向量確定了曲線的定向，或隨著參數增長的前進方向。

法向量

法向量，有时也称为曲率向量，表明曲线和一条直线的偏离程度。

法向量定义为

{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)=\mathbf {\gamma } ''(t)-\langle \mathbf {\gamma } ''(t),\mathbf {e} _{1}(t)\rangle \,\mathbf {e} _{1}(t).

其正规形式单位法向量，是 Frenet 向量 e₂(t)，定义为

\mathbf {e} _{2}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)\|}}.

t 点的切向量和法向量张成 t 点的密切平面。

曲率

第一个广义曲率 χ₁(t) 称为曲率，度量了曲线 γ 偏离密切平面上一条直线的程度。定义为

\kappa (t)=\chi _{1}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{1}'(t),\mathbf {e} _{2}(t)\rangle }{\|\mathbf {\gamma } ^{'}(t)\|}}

称为 γ 在点 t 的曲率。

曲率的倒数

{\frac {1}{\kappa (t)}}

称为曲率半径。

半径为 r 的圆周有常曲率

\kappa (t)={\frac {1}{r}}\,,

但一条直线的曲率是 0 。

次法向量

次法向量是第三个 Frenet 向量 e₃(t) ，总是正交于 t 点的单位切向量和单位法向量。其定义为

\mathbf {e} _{3}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)\|}}\quad {\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)=\mathbf {\gamma } '''(t)-\langle \mathbf {\gamma } '''(t),\mathbf {e} _{1}(t)\rangle \,\mathbf {e} _{1}(t)-\langle \mathbf {\gamma } '''(t),\mathbf {e} _{2}(t)\rangle \,\mathbf {e} _{2}(t)

在 3 维空间中等式简化为

\mathbf {e} _{3}(t)=\mathbf {e} _{2}(t)\times \mathbf {e} _{1}(t)\,.

挠率

第二广义曲率 χ₂(t) 称为挠率，度量了 γ 和一条平面曲线的偏离程度。或者说，如果挠率为 0 则曲线完全在某平面内（任何 t 都在这一个平面内）。

\tau (t)=\chi _{2}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{2}'(t),\mathbf {e} _{3}(t)\rangle }{\|\mathbf {\gamma } '(t)\|}}

称为 γ 在点 t 的挠率。

曲线论主要定理

给定 n 个函数

\chi _{i}\in C^{n-i}([a,b]){\mbox{, }}1\leq i\leq n

满足

\chi _{i}(t)>0{\mbox{, }}1\leq i\leq n-1

那么存在惟一的（在差一个欧几里得群作用的意义下） n 阶正则 Cⁿ⁺¹-曲线 γ，具有如下性质

\|\gamma '(t)\|=1{\mbox{ }}(t\in [a,b])

\chi _{i}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{\|\mathbf {\gamma } '(t)\|}}\,,

这里集合

\mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)

是曲面的 Frenet 标架。

再附加起始 t₀ ∈ I，起始点 p₀ ∈ Rⁿ 以及一个初始正交标架 {e₁, ..., e_n-1} 满足

\mathbf {\gamma } (t_{0})=\mathbf {p} _{0}

\mathbf {e} _{i}(t_{0})=\mathbf {e} _{i}{\mbox{, }}1\leq i\leq n-1

那么我们可以排除欧几里得作用得到惟一的曲线 γ。

Frenet-Serret 公式

Frenet-Serret 公式是一组一阶常微分方程。其解为由广义曲率函数 χ_i 所刻画的曲线的 Frenet 向量组。

2-维

{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa (t)\\-\kappa (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\end{bmatrix}}

3-维

{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\mathbf {e} _{3}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa (t)&0\\-\kappa (t)&0&\tau (t)\\0&-\tau (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\mathbf {e} _{3}(t)\\\end{bmatrix}}

n 维一般公式

{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(t)&&0\\-\chi _{1}(t)&\ddots &\ddots &\\&\ddots &0&\chi _{n-1}(t)\\0&&-\chi _{n-1}(t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}(t)\\\end{bmatrix}}

参考文献

Erwin Kreyszig, Differential Geometry, Dover Publications, New York, 1991, ISBN 9780484667218. Chapter II is is a classical treatment of Theory of Curves in 3-dimensions.
陈维桓，微分几何，北京大学出版社，北京，2006年，ISBN 7-301-10709.

另见

曲线论题列表
曲线的仿射几何
弧
切线、切点、次切距
密切圆
包络线、转迹线
四顶点定理
测地线
等周问题
环绕数

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