四色定理

最初的染色问题是用几何学的概念描述的，严谨的版本则需要用到拓扑学的概念来定义。设有一平面或其一部分，将其划分为互不重叠的区域的集合。一个“地图”为以下划分方式[2]^:44：

• 将平面划分为有限个区域，使得任意两个区域的交集是空集，所有的区域的并集是整个平面；
• 所有区域中，只有一个区域是无界区域，其余区域都是有界区域。

所谓有界区域，是指能够用一个长和宽都有限的矩形覆盖的区域。无界区域则是不能用这样的矩形覆盖的区域[2]^:44。每个区域相当于通俗说法中的“国家”，而区域之间的边界（“国家”之间的“国界线”）则定义为连续不自交的曲线，也称为连续简单曲线。连续简单曲线是指一个从[0, 1]映射到平面${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$的连续函数${\displaystyle c}$的像集：${\displaystyle C=\{c(t);\quad t\in [0,1]\}}$，并且要满足：

任意${\displaystyle 0\leqslant t_{1}<t_{2}\leqslant 1}$，只要不是${\displaystyle t_{1}=0,t_{2}=1}$，就必定有${\displaystyle c(t_{1})\neq c(t_{2})}$

这样说明曲线不与自身相交（没有“打结”的地方）。如果${\displaystyle c(0)\neq c(1)}$，就称曲线为弧，否则称曲线为圈[2]^:47。可以看出，用边界定义地图更为本质：

平面${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$中的一张地图是指有限个简单曲线的集合：${\displaystyle {\mathcal {L}}=\{C_{1},C_{2},\cdots ,C_{m}\},\,m\in \mathbb {N} ,m\geqslant 2}$，其中${\displaystyle \forall 1\leqslant i\leqslant m,\,C_{i}=\{c_{i}(t);\quad t\in [0,1]\}}$，${\displaystyle c_{i}}$为[0, 1]映射到${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$的连续函数。并且任意${\displaystyle 1\leqslant i<j\leqslant m}$，曲线${\displaystyle C_{i}}$和${\displaystyle C_{j}}$要么没有交点（交集为空集），要么交点是两线的一个公共顶点${\displaystyle E_{i,j}=c_{i}(\epsilon _{1})=c_{j}(\epsilon _{2}),\;\;\epsilon _{1},\epsilon _{2}\in \{0,1\}}$[2]^:60

${\displaystyle {\mathcal {L}}}$中每一条连续简单曲线称为地图的边。任意边的端点称为顶点。可以说，一张地图实际上是由一个简单有界平面图定义的。定义地图的边和顶点后，设所有属于边或顶点的点为中性点，其集合设为${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {L}}=\{x;\,x\in C_{i},\,1\leqslant i\leqslant m\}}$，则 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$将其余的点划分为若干个道路连通的开集。用拓扑学的语言来说，每个“国家”是${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-{\mathcal {N}}_{\mathcal {L}}}$的一个极大连通子集。或者说，取一个非中性点${\displaystyle x}$，所有能够从${\displaystyle x}$，经过一条不含中性点的弧到达的点构成的集合，就是一个国家。这样定义的国家必然满足之前所说的特性，只有一个无界国家。要注意的是这里定义的国家必然是没有飞地的[2]^:64。

最后可以定义染色。假设将使用到的颜色编号为${\displaystyle 1,2,3,\cdots ,n}$号颜色，为地图染色是指一个将地图中的国家映射到${\displaystyle \{1,2,3,\cdots ,n\}}$上的函数。一个可行的n-染色方案是指使得相邻的国家对应的颜色不同的函数。四色定理说明：每个地图都存在可行的4-染色方案[2]^:43。

拓扑学版本的四色问题阐述可以转化为更为抽象的图论版本。这里的转化指的是一种对偶的概念。即将一个地图转化为图论中的一个无向平面图。具体来说，是将地图中的每一个国家用其内部的一个点代表，作为一个顶点。如果两个国家相邻，就在两个顶点之间连一条线。这样得到的图必然是一个平面图（不会有两条边相交），而与每个国家选取的代表点无关。四色定理可以叙述为：必然可以用四种颜色给平面图的顶点染色，使得相连的顶点颜色不同[2]^:118-122。

一个四个国家的地图转化为一个平面图

要注意的是，并非所有的地图都可以转化为图论中的平面图。如果一个国家有飞地的话，就不能用只一个点来代表一个国家。另外，如果一个国家是“国中国”，那么即便可以地图其转化为平面图，也会造成讨论上的不便。但是，“国中国”的着色十分容易解决，因为它只有一个邻国，只需将它染成和邻国不一样的颜色就可以。所以在大部分有关四色问题的讨论中可以忽略“国中国”的情形。同样地，只有两个邻国的情形也可以被忽略。如果规定不能够有四个或者以上的国家有公共边界，那么地图转化成的平面图里面，每个区域都是至多由三条边围成的。这样的地图被称为正规地图。如果任何一个顶点都连出三条边，那么就称其为“三度图”（）。可以证明，如果存在四色定理的反例，那么国家数最少的反例必定是三度图。因此在四色问题的证明过程中，常常会假设地图对应的图是三度图[2]^:127-128。

肯普的证明是基于对国家数目进行的归纳法。很容易能證明国家数4以內时四色定理成立。肯普假设当国家数目不多于n时四色定理成立，他的目的是证明n+1个国家构成的地图都可以约化为不超过n个国家构成的地图，从而证明四色定理成立[6][8]。

图1

图2

图3

肯普首先证明一个有关平面图的结论：任意地图中必定存在一个国家（頂點），其邻国数目小于等于5。证明很简单，在图论版本中，地图被转换成简单平面图。而一个简单平面图中，设V为顶点数，E为边数，F为区域数，则由于每个区域至少由三条边围成，每条边正好隔开两个区域，所以区域数和边数满足：2E ≥ 3F。假设每个頂點都至少有6条边，那么由于每条边对应两个顶点，所以顶点数和边数满足：2E ≥ 6V。合起来就有：

${\displaystyle V+F\leqslant {\frac {1}{3}}E+{\frac {2}{3}}E=E}$

但这与图论中著名的欧拉公式：V + F = E + 2矛盾。因此不可能每個頂點都至少有六條邊，也就是說，必定有一个国家的邻国数目不超过5[3]^:177。

接下来肯普考察n+1个国家中邻国数目最小的国家，称之为A国。A国邻国的数目不超过5个。如果A国的邻国数目不超过3个，那么可以把A国“去掉”（比如和其中一个邻国连成一体），形成一个n个国家的地图，这个地图可以用4种颜色着色，而原来的3个邻国至多用了3种颜色。这时候将A国“放回去”，染上第4种颜色，就等于找到给原地图4-着色的方法[8]。

这种能够“去掉”一个国家，减少国家数的局部后来被称为“可约构形”（）。接下来肯普证明A国有4个邻国和5个邻国的情况仍然是可约构形，于是都能够化为不多于n个国家的情况。因此任何n+1个国家的地图仍然可以用四种颜色染色，因而通过归纳法可知，四色定理成立[6]。

A国有4个邻国的时候，假如有两个邻国同色，那么可以把它们“当作”同一个国家，和A国连成一体进行约化，而由於此時這4個鄰國至多用了3種顏色，所以可以将A国“放回去”，染上第4种颜色。假如4个邻国都不同色，不妨设为红、黄、蓝、绿（如右图1）。肯普的思路是将其转化为两个邻国同色的情形，他采用的方法后来被称为“肯普链”方法（）。具体来说，肯普希望将其中一个邻国的颜色换成“对面”的颜色，比如将绿色（图1中的绿1）换为红色。如果绿色邻国没有红色的邻国，那么换色没有任何问题；如果它有红色邻国（图1中的红1），那么需要将其红色换成绿色，……如此换下去。因此需要换色的是一条绿－红－绿－红……的“链条”，也就是所谓的“肯普链”。如果对面的红色国家不在这个链条里，那么只需要将链中的国家红绿互换，就能转化成两个邻国同色的情况（图2）。如果对面的红色国家也在链条里面（如图3），那么红绿互换就没有意义了。但是这时候可以看到，红绿“肯普链”与A国形成一个圈，所以黄色邻国和蓝色邻国必有一个在圈里（图3中是黄色邻国）。这样圈外的（蓝色）邻国的“肯普链”与圈内的（黄色）邻国必定没有交集，于是将其黄蓝互换，就能转化成两个邻国同色的情况。这说明A国与4个邻国构成可约构形[3]^:178[6]。

对于A国有5个邻国的构形，肯普仍然使用肯普链的换色方式来证明其可约性。他使用了两次换色，将5种颜色降至3种，从而成为可约的构形。这也是后来希伍德找出错误的地方[6][8]。

伯克霍夫等人的证明是肯普的方法的延续和系统化，归纳为寻找一个不可避免的可约构形集（）。这个理念已经体现在肯普的证明中。他首先说明任一地图中必然存在以下四种构形：2邻国国家、3邻国国家、4邻国国家和5邻国国家；然后证明每种构形都是可约构形。后来希尔将这种分类方式称为“不可避免集”。伯克霍夫的构想是使用反证法：反设存在至少需要五种颜色染色的地图，那么其中必然存在国家数最小的“极小五色地图”（）。这个地图必然是“不可约的”（）。而只要找到一组构形，使极小五色地图中不可避免地会出现其中一种构形，并且每个构形都是可约的，那么就能够通过约化，将地图的国家数减少，从而导致矛盾[4]^:169。

肯普使用的不可避免构形集：邻国有2、3、4、5个的国家。

伯克霍夫菱形：由6个国家（红点）构成的环围着4个国家组成的构形。

肯普找的不可避免集由四种构形组成，但他无法证明最后一种（5邻国国家）的可约性，因此伯克霍夫开始寻找刻画不可避免集的新方法。他提出以相邻国家连成的环来将整个地图M分为三个部分：环内部分A、环外部分B以及环本身R。若环上的国家数为n就称其为n-环。如果R的任意染色都不妨碍A进行染色，那么就可以“忽略”A而将M的染色问题约化为B+R的染色问题。这时便称A+R是可约构形，R称为可约环。伯克霍夫证明了：当R是4-环，或者R是5-环且A中国家不止一个，或者A+R是“伯克霍夫菱形”时，A+R都是可约的构形。因此极小五色地图不可能包含这些构形[4]^:169。富兰克林进一步证明：极小五色地图中必定包含三个邻接的五边国（5邻国的国家），或者邻接的两个五边国与一个六边国，或者邻接的一个五边国和两个六边国。他从而得出一系列的可约构形，形成了25国以下地图的不可避免的可约构形集。因此推出，极小五色地图必定至少包含26个国家[14]。

富兰克林发现，极小五色地图必定包括以上6种情形之一。

这种方法的终极目标是找到所有地图的不可避免的可约构形集。然而随着国家数增多，要找到不可避免集并证明其可约化性就越难。这主要是因为随着环的增大，染色的方法数目会迅速增大。6-环的4-染色方法有31种，而12-环则有22144种。因此对大环围成的构形验证可约性是十分繁杂的工作。1926年，C.N.Reynolds将别克霍夫数从25提高到27。1938年，富兰克林将其推进到31。1941年，C.E.Winn将之提高到35。而直到1968年，别克霍夫数才更新为40[2]^:185。

四色问题研究的下一个突破并不是在美国，而是由哥廷顿大学出身的德国数学家亨利·希尔带来的。他在1948年提出不可避免集的存在性，但他提出的不可避免集可能包含10000个构形，其中还有18-环的庞大构形。希尔的另一个成果是在1969年提出“放电法”（），为寻找不可避免集给出了系统的方法[3]^:188。

放电法利用地图转换成图染色後成为平面图的特性，将其看作是平面的“电网”，并将每个“节点”按照度数（连出的边数）分类。首先在每个度数为k的节点放置6 - k的电荷。根据平面图和极小五色地图的特性，有下列恒等式[2]^:224：

${\displaystyle A_{5}-A_{7}-2A_{8}-3A_{9}-\cdots -(s-6)A_{s}=12.}$

其中${\displaystyle \forall k\in \mathbb {Z} ,\,\,A_{k}}$表示度数为k的节点个数，s为节点最大度数。“放电”的过程（）指的是将这些电荷以特殊的规则进行重新分配，从而找出“电网”结构上的特性，建立不可避免集。具体来说，可以假设某些构形全不存在，然后构造一个放电过程，使得接受电荷的总量不再等于释放电荷的总量，从而导出矛盾（电荷不守恒）。每个良好设计的放电过程都能证明一个不可避免集的存在[3]^:189-192[15]^:26-27。

人工寻找不可避免构形集和验证构形可约性过于缓慢，数学家开始考虑使用当时新出现的计算机作为辅助，以提高验证的效率。构造出放电法的同时，借助于计算机来验证构形可约性的工作也飞速进展。希尔在的帮助下在1965年设计了第一个算法来验证构形的可约性。他们使用的是Algol 60语言，在德国汉诺威技术学院计算机中心的一台CDC 1504A电脑上首次运行。1967年前，由于内存不足，只能验证12-环以下的构形[2]^:27。而希尔找出的不可避免集含有的大构形可以达到14-环甚至更多，计算机的能力并不足以快速完成可约性的验证[16]。

当时美国的计算机技术领先于欧洲，因此希尔希望能够借助美国的大型计算机来证明四色定理。1967年，美国纽约布鲁克海文国家实验室（BNL）应用数学院院长邀请希尔来美国访问，并允许他使用当时世界上最快的计算机CDC 6600。其后几年，希尔两度到美国寻求大型计算机的使用机会。这段时间中，将程序用FORTRAN进行重写。抱着在德国最终解决四色问题的希望，希尔回到德国，但令他失望的是，德国学术界对他的计划持否定态度，并不愿为他的程序拨出计算时间[2]^:28。

在数次访美时，希尔开始与沃夫冈·哈肯合作。哈肯在1948年曾经旁听过希尔提出不可避免集的课程，之后对四色定理产生了持续的兴趣。两人通过信件交流合力作出很多进展，为最终解决四色问题铺平道路。1971年，阿佩尔也开始在哈肯的介绍下研究四色问题。然而当时哈肯对解决四色问题的前途感到悲观，因为寻找并验证合适的不可避免可约构形集实在过于复杂，即便借助计算机也需要过多的时间。塔特当时也认为，即便最乐观的估计中，不可避免集也要包含至少8000个构形。然而塔特等人也将希尔的工作介绍到美国（当时希尔的工作只在德国发表过），并引发了很多人的热情。包括弗兰科·阿莱尔、爱德华·雷尼尔·斯瓦特、弗兰科·R·伯恩哈特等人都开始寻找不可避免集以及检验可约性[2]^:34。哈肯和阿佩尔依赖于计算机的工作能力，因此不断改良放电过程。他们将通过放电过程寻找不可避免集的算法和验证可约性结合起来，当某个不可避免集的构形不是C-可约（可约性的一种）或难以被验证为C-可约的时候，就放弃这个不可避免集，以提高效率。两人设定了很多经验性的修正规则，比如设定三个经验性的“障碍”（三种特定的构形），当某个构形中含有这种障碍就直接认为是不可约的；又比如构形的大小不能超过14-环，等等[3]^:193。

地图染色算法是一个应用的问题：能否给出一个算法，将一个地图进行k-染色，或判定它不能k-染色？当k = 2时，存在多项式时间的算法。只需将某个国家随机染上一种颜色，然后它的邻国就只能染成另一种颜色，邻国的邻国的颜色也随之确定……这个算法等价于广度优先搜索，因此是多项式时间的。当k = 3时，可以证明这个问题是NP完备的，即若P≠NP，则不存在多项式时间的算法[29]^:583。对于k = 4的情况，阿佩尔和哈肯在1989年的单行本的附录中给出一个完整的多项式时间的算法及其证明[26]。