拉姆齐定理

在6個頂點的完全圖${\displaystyle K_{6}}$內，每邊塗上紅或藍色。欲證必然有一個紅色的三角形或藍色的三角形。

• 任意選取一個端點${\displaystyle P}$，它有5條邊和其他端點相連。
• 根據鴿巢原理，5條邊染兩種顏色，至少有3邊顏色相同，不失一般性設這種顏色是紅色，又設該三邊為${\displaystyle PA,PB,PC}$。
• ${\displaystyle A,B,C}$三個頂點，互相連結的邊有${\displaystyle AB,BC,CA}$三條。
  • 若這3條邊中任何一條是紅色，這條邊的兩個端點和${\displaystyle P}$便組成一個紅色三角形。
  • 若這3條邊中沒有紅邊，則都是藍色，因此，${\displaystyle ABC}$是藍色三角形。

以上論證對一切染色法都適用，所以${\displaystyle K_{6}}$的任何二染色皆有同色${\displaystyle K_{3}}$，換言之${\displaystyle R(3,3)\leq 6}$。这个定理的通俗版本稱為朋友與陌路人定理。

另一種證法是算兩次：考慮「異色角」的數目，即滿足${\displaystyle xy}$為紅而${\displaystyle yz}$為藍的有序三頂點組${\displaystyle (x,y,z)}$的個數。若先固定中間的頂點${\displaystyle y}$，則對應三元組的數目可能是

• ${\displaystyle 0\times 5=0}$（若其全部邊染同色）；
• ${\displaystyle 1\times 4=4}$（若有四邊染某色，另一邊不同色）；或
• ${\displaystyle 2\times 3=6}$（若有三邊染某色，另兩邊染另一色）。

所以，至多是${\displaystyle 6}$，而${\displaystyle y}$本身有6種可能，異色角的總數至多是${\displaystyle 6\times 6=36}$。但是，對於三邊不完全同色的三角形，恰好有兩隻異色角，所以，至多有${\displaystyle 18}$個異色三角形。考慮到6個頂點組成${\displaystyle {\binom {6}{3}}=20}$個三角形，至少有兩個是同色三角形，再次得到${\displaystyle R(3,3)\leq 6}$的結論。

反之，將${\displaystyle K_{5}}$二染色，不一定有同色的三角形。此構造在同構意義下唯一，如下圖所示：將五個頂點排成一圈，每個端點和毗鄰的兩個端點之間的連線染紅色，與其餘兩個端點的連線染藍色，則不產生同色三角形。所以，${\displaystyle R(3,3)=6}$。

1953年普特南數學競賽考過${\displaystyle R(3,3)\leq 6}$。[2]1947年匈牙利屈爾沙克·約瑟夫數學比賽（匈牙利語：）亦然。[3]

• 僅有兩種方法將16個頂點之間的邊染三種顏色而無同色三角形
• 
  無扭的
• 
  有扭的

多色拉姆齊數就是用三種或更多顏色的拉姆齊數。若不考慮對稱的情況，僅有兩個非平凡的多色拉姆齊數為已知：${\displaystyle R(3,3,3)=17}$和${\displaystyle R(3,3,4)=30}$。[4]

設將某完全圖的邊染紅綠藍三色，而無同色三角形。選任一頂點${\displaystyle v}$，考慮以紅邊與${\displaystyle v}$相連的各點，組成${\displaystyle v}$的「紅鄰域」。紅鄰域之內不能再有任何紅邊，否則該紅邊與${\displaystyle v}$一同組成紅色三角形。所以紅鄰域內的邊衹用藍綠兩色。由上節${\displaystyle R(3,3)=6}$，${\displaystyle v}$的紅鄰域最多衹有5個頂點，否則有藍或綠的同色三角形。同理，${\displaystyle v}$的綠鄰域和藍鄰域，各有至多5個頂點，但圖中每個頂點，或為${\displaystyle v}$本身，或屬${\displaystyle v}$的某色鄰域，所以全圖至多${\displaystyle 1+5+5+5=16}$個頂點。故${\displaystyle R(3,3,3)\leq 17}$。

欲證${\displaystyle R(3,3,3)=17}$，現需用三種顏色畫出16個頂點的完全圖，而不產生同色三角形。若不辨同構之異，則恰有兩種畫法，分別稱為「無扭」（）和「有扭」（）染法，見上圖。

克萊布殊圖

${\displaystyle K_{16}}$的有扭或無扭染色中，選任一顏色，該色邊組成的子圖都是克萊布殊圖。

對較少頂點的完全圖，已知${\displaystyle K_{15}}$亦衹得兩種染三色的方法無同色三角形，分別來自${\displaystyle K_{16}}$的兩種染法，刪去任意一個頂點。${\displaystyle K_{14}}$則有115種方法染三色而無同色三角形，但此數不僅不辨圖同構（頂點的置換），還不辨顏色的置換。

拉姆齐数，用图论的语言有两种描述：

1. 对于所有的N顶图，包含k个顶的团或l个顶的独立集。具有这样性质的最小自然数N就称为一个拉姆齐数，记作R(k,l)；
2. 在着色理论中是这样描述的：对于完全圖${\displaystyle K_{n}}$的任意一个2边着色${\displaystyle (e_{1},e_{2})}$，使得${\displaystyle K_{n}[e_{1}]}$中含有一個k阶子完全图，${\displaystyle K_{n}[e_{2}]}$含有一個l阶子完全图，则称满足这个条件的最小的n为一个拉姆齐数。（注意：${\displaystyle K_{i}}$按照图论的记法表示i阶完全图）

拉姆齐证明，对与给定的正整數数k及l，R(k,l)的答案是唯一和有限的。

拉姆齐數亦可推廣到多於兩個數：

对于完全圖${\displaystyle K_{n}}$的每條邊都任意塗上r種顏色之一，分別記為${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3},...,e_{r}}$，在${\displaystyle K_{n}}$中，必定有個顏色為${\displaystyle e_{1}}$的${\displaystyle l_{1}}$阶子完全图，或有個顏色為${\displaystyle e_{2}}$的${\displaystyle l_{2}}$阶子完全图……或有個顏色為${\displaystyle e_{r}}$的${\displaystyle l_{r}}$阶子完全图。符合條件又最少的數n則記為${\displaystyle R(l_{1},l_{2},l_{3},...,l_{r})}$。

已知的拉姆齐數非常少，保羅·艾狄胥曾以一個譬喻來描述尋找拉姆齐數的難度：「想像有隊外星人軍隊在地球降落，要求取得R(5,5)的值，否則便會毀滅地球。在這個情況，我們應該集中所有電腦和數學家嘗試去找這個數值。若他們要求的是R(6,6)的值，我們要嘗試毀滅這班外星人了。」

顯然易見的公式： R(0,s)=0， R(1,s)=1， R(2,s)=s， ${\displaystyle \mathrm {R} (l_{1},l_{2},l_{3},...,l_{r})=R(l_{2},l_{1},l_{3},...,l_{r})=R(l_{3},l_{1},l_{2},...,l_{r})}$（將${\displaystyle l_{i}}$的順序改變並不改變拉姆齐的數值）。

組合電子期刊有不定期更新的動態綜述，介紹拉姆齊數的研究成果。[4]

拉姆齊數滿足不等式${\displaystyle R(r,s)\leq R(r-1,s)+R(r,s-1)}$。由此，利用數學歸納法，可以證明

${\displaystyle R(r,s)\leq {\binom {r+s-2}{r-1}}.}$

上述結果歸功於艾狄胥和塞凱賴什。當${\displaystyle r=s}$時，用史特靈公式化成：

${\displaystyle R(s,s)\leq [1+o(1)]{\frac {4^{s-1}}{\sqrt {\pi s}}},}$

其中誤差項o (1)，當${\displaystyle s}$趨向於無窮時，趨向${\displaystyle 0}$。

下界方面，1947年艾狄胥首創概率法，證明

${\displaystyle R(s,s)\geq [1+o(1)]{\frac {s}{{\sqrt {2}}e}}2^{s/2}.}$

雖然上下界皆是指數形式，但兩者底數不同，實際大小相差甚遠，如${\displaystyle s=10}$時，給出的界是${\displaystyle 101\leq R(10,10)\leq 48620}$。不過，截至2021年，上下界的底數仍毫無改進，依舊是${\displaystyle 4}$和${\displaystyle {\sqrt {2}}}$，僅有較低階項的改進。而且，下界依賴非構造性的概率方法，未有任何確切構造[註 2]能給出指數下界。暫時所知最佳結果為：

${\displaystyle [1+o(1)]{\frac {{\sqrt {2}}s}{e}}2^{\frac {s}{2}}\leq R(s,s)\leq s^{-(c\log s)/(\log \log s)}4^{s},}$

分別為斯賓塞和康倫所證。

至於非對角拉姆齊數${\displaystyle R(3,t)}$，已知其增長級別為${\displaystyle {\tfrac {t^{2}}{\log t}}}$；等價說法是，${\displaystyle n}$個頂點且無三角形的圖${\displaystyle G}$，獨立數${\displaystyle \alpha (G)}$的最小值用大Θ符號表示成

${\displaystyle \Theta \left({\sqrt {n\log n}}\right).}$

${\displaystyle R(3,t)}$的上界由奧伊陶伊、科姆洛什、塞迈雷迪證出，而${\displaystyle {\tfrac {t^{2}}{\log t}}}$級的下界原先由金正翰（音譯）證明，其後格里菲斯、莫里斯、菲斯·庞蒂韦罗斯三人[7]和波曼、基瓦什兩人[8]藉分析「無三角形過程」，分別將下界獨立改進至

${\displaystyle \left({\frac {1}{4}}-o(1)\right){\frac {k^{2}}{\log k}}.}$

一般的非對角拉姆齊數${\displaystyle R(s,t)}$，當${\displaystyle s}$固定而${\displaystyle t}$增大時，已知最優的上下界為

${\displaystyle c'_{s}{\frac {t^{\frac {s+1}{2}}}{(\log t)^{{\frac {s+1}{2}}-{\frac {1}{s-2}}}}}\leq R(s,t)\leq c_{s}{\frac {t^{s-1}}{(\log t)^{s-2}}},}$

分別歸功於波曼、基瓦什兩人和奧伊陶伊、科姆洛什、塞迈雷迪三人。

本定理可引伸適用於無窮圖，同樣稱為拉姆齊定理。與有限圖的拉姆齊定理相提並論時，或稱無窮拉姆齊定理（）以作區分。

設${\displaystyle X}$為無窮集，以${\displaystyle X^{(2)}}$表示其兩兩所連邊的集合（即${\displaystyle X}$全體二元子集組成的族），每邊染成${\displaystyle c}$色之一。則存在同色無窮階完全圖，即有無窮子集${\displaystyle M\subseteq X}$，其邊集${\displaystyle M^{(2)}}$同色。[9][10]^:1

證明：取任一${\displaystyle x_{1}\in X}$。自${\displaystyle x_{1}}$引出無窮多條邊，必有某色${\displaystyle c_{1}}$出現無窮多次。記${\displaystyle X_{1}\subseteq X\setminus \{x_{1}\}}$為該些邊另一端點的集合。又取任一${\displaystyle x_{2}\in X_{1}}$，同樣自${\displaystyle x_{2}}$有無窮多條邊引至${\displaystyle X_{1}\setminus \{x_{2}\}}$，故必有某色${\displaystyle c_{2}}$及無窮子集${\displaystyle X_{2}\subseteq X_{1}\setminus \{x_{2}\}}$，使${\displaystyle x_{2}}$引至${\displaystyle X_{2}}$的各邊皆染${\displaystyle c_{2}}$色。

餘可類推，得到一列互異的元素${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots \in X}$及一列顏色${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots }$。由於僅得有限多種色，必有顏色出現無窮多次，即有${\displaystyle c_{i_{1}}=c_{i_{2}}=\cdots }$對於無窮序列${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots }$成立。此時，有${\displaystyle M=\{x_{i_{1}},x_{i_{2}},x_{i_{3}},\ldots \}}$為無窮子集，且其元素兩兩連邊同色（因為邊${\displaystyle x_{i_{a}}x_{i_{b}}}$所染為${\displaystyle c_{i_{a}}}$色），證畢。

本定理對於超圖（即${\displaystyle X^{(2)}}$換成${\displaystyle X^{(r)}}$）亦成立。[9][10]^:2

關於無窮圖的二染色，艾狄胥－杜什尼克－米勒定理是較強的結果，但其中兩種顏色不對等。定理斷言，任意無窮圖（頂點數不必可數）的邊若染紅藍兩色，則或有可數無窮大的紅色完全子圖，或有與原圖同樣大的藍色完全子圖。[11]

運用反證法，可以證明無窮拉姆齊定理推出有限拉姆齊定理。[12]

反設有限拉姆齊定理不成立，即某個拉姆齊數不存在，則有整數${\displaystyle c}$和${\displaystyle T}$滿足：對任意正整數${\displaystyle k}$，完全圖${\displaystyle [k]^{(2)}}$[註 3]皆有某種染${\displaystyle c}$色的方案，而不產生同色的${\displaystyle T}$元子集。以${\displaystyle C_{k}}$表示此種方案的集合。

對任意${\displaystyle k}$，可將${\displaystyle C_{k+1}}$中任意一種染色限制到子圖${\displaystyle [k]^{(2)}}$（即刪去頂點${\displaystyle k+1}$），不會額外產生同色的${\displaystyle T}$元子集，所以所得的染色仍在${\displaystyle C_{k}}$中。${\displaystyle C_{k}}$中，某些染色是以上述方式，由${\displaystyle C_{k+1}}$的染色限制而成，此種染色構成${\displaystyle C_{k}}$的子集，記為${\displaystyle C_{k}^{1}}$。由假設，${\displaystyle C_{k+1}}$非空，所以${\displaystyle C_{k}^{1}}$亦非空。

同樣，${\displaystyle C_{k+1}^{1}}$元素的限制必屬${\displaystyle C_{k}^{1}}$，故可定義${\displaystyle C_{k}^{2}}$為此種限制所得染色法的集合，其不為空。類推對所有正整數${\displaystyle m,k}$定義${\displaystyle C_{k}^{m}}$。

現對每個正整數${\displaystyle k}$，有${\displaystyle C_{k}\supseteq C_{k}^{1}\supseteq C_{k}^{2}\supseteq \cdots }$，且逐個集合非空。又${\displaystyle C_{k}}$為有限集，因為由乘法原理，全體染色方案，不論是否有同色${\displaystyle T}$元集，總數是${\displaystyle c^{\binom {k}{2}}}$。由此，整個序列的交集${\displaystyle D_{k}=C_{k}\cap C_{k}^{1}\cap C_{k}^{2}\cap \cdots }$非空。[註 4]又每個${\displaystyle C_{k}^{i}}$的元素來自${\displaystyle C_{k+1}^{i-1}}$某元素的限制，可知${\displaystyle D_{k}}$每個元素都來自${\displaystyle D_{k+1}}$元素的限制，從而由${\displaystyle D_{k}}$的染色出發，可以延拓成${\displaystyle D_{k+1}}$的染色，並可重複，直至得到無窮圖${\displaystyle \mathbb {N} ^{(2)}}$的染色，而無同色${\displaystyle T}$元集，與無窮拉姆齊定理矛盾。

以拓撲學觀之，此為標準的緊論證（）[12]，相當於考慮全體染色的拓撲空間${\displaystyle [c]^{\binom {\mathbb {N} }{2}}}$，而由吉洪諾夫定理，其為若干個有限（從而緊）空間${\displaystyle [c]}$之積，所以仍為緊。而條件「在子圖${\displaystyle [k]^{(2)}}$上不產生同色${\displaystyle T}$元集」，描述該空間的一個閉開集，所以有限交非空推出全體交非空。

定理亦可推廣至超图。一個${\displaystyle m}$均勻超圖（或${\displaystyle m}$超圖）就是將圖的邊由二元子集換成${\displaystyle m}$元子集。超圖拉姆齊定理敍述如下：

對任意正整數${\displaystyle m}$和${\displaystyle c}$，以及任意正整數${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{c}}$，存在拉姆齊數${\displaystyle R(n_{1},\ldots ,n_{c};c,m)}$，使得${\displaystyle R(n_{1},\ldots ,n_{c};c,m)}$階完全${\displaystyle m}$超圖的各邊，不論如何染${\displaystyle c}$種色，必存在${\displaystyle i}$令圖中可找出某個衹染${\displaystyle i}$色的${\displaystyle n_{i}}$階完全${\displaystyle m}$超圖。

此定理一般對${\displaystyle m}$歸納證出，${\displaystyle m=2}$的初始情況正如前文。

亦可定義有向圖的拉姆齊數，最早由P. Erdős and L. Moser （1964）提出。設${\displaystyle R(n)}$為最小的正整數${\displaystyle Q}$，使得${\displaystyle Q}$階完全圖中，若為每邊賦兩種定向之一（所得有向圖稱為循環賽圖），則必有無圈的${\displaystyle n}$階循環賽圖[註 5] 。

此前${\displaystyle R(n,n;2)}$定義為保證${\displaystyle Z}$階完全無向圖染兩色會有同色完全${\displaystyle n}$階子圖的最小${\displaystyle Z}$值，可見${\displaystyle R(n)}$是${\displaystyle R(n,n;2)}$的有向類比：兩種顏色現換成邊的兩種方向，而「同色」換成「全部邊方向統一」（所以無圈）。

已知${\displaystyle R(0)=0}$，${\displaystyle R(1)=1}$，${\displaystyle R(2)=2}$，${\displaystyle R(3)=4}$，${\displaystyle R(4)=8}$，${\displaystyle R(5)=14}$，${\displaystyle R(6)=28}$，${\displaystyle 34\leq R(7)\leq 47}$。[13][14]