埃尔德什-莫德尔不等式

该不等式最早由埃尔德什在1935年在《美国数学月刊》上提出，作为第3740号问题。两年之后，由路易斯·莫德尔和D.F.巴罗证明。1957年，卡扎里诺夫提出了一个更简捷的证明[1]。之后不断有更简洁、更基本的证明出现。1958年班考夫（Bankoff）给出了运用正交投影和相似三角形的证明，1997年和2004年出现了使用面积不等式的证明，1993年和2001年发现了根据托勒密定理的证明。

如右图，O为三角形ABC中的一个点。O到三角形三边的垂线分别交三条边于D、E、F。设线段${\displaystyle OA}$、${\displaystyle OB}$、${\displaystyle OC}$的长度分别是${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、${\displaystyle z}$，线段${\displaystyle OD}$、${\displaystyle OE}$、${\displaystyle OF}$的长度分别是${\displaystyle p}$、${\displaystyle q}$、${\displaystyle r}$，那么埃尔德什-莫德尔不等式为：

${\displaystyle x+y+z\geq 2(p+q+r)}$

一个初等的证明方式是使用三角函数以及均值不等式。

首先，由于${\displaystyle OF}$垂直于${\displaystyle AF}$，${\displaystyle OE}$垂直于${\displaystyle AE}$，A、F、O、E四点共圆且${\displaystyle OA}$为直径，因此线段${\displaystyle \displaystyle EF=OA\sin A=x\sin A}$（角A为顶点A对应的内角）。

过点F、E作关于${\displaystyle BC}$的垂线交${\displaystyle BC}$于X、Y。过O作${\displaystyle BC}$的平行线分别交${\displaystyle FX}$、${\displaystyle EY}$于${\displaystyle U}$、${\displaystyle V}$。由于${\displaystyle OF}$垂直于${\displaystyle AF}$，${\displaystyle OE}$垂直于${\displaystyle AE}$，${\displaystyle \angle UFO=\angle B}$，${\displaystyle \angle VEO=\angle C}$。于是：

${\displaystyle UV=UO+OV=OF\sin \angle UFO+OE\sin \angle VEO=r\sin B+q\sin C}$

另一方面，注意到在直角梯形中${\displaystyle FUVE}$中，斜腰${\displaystyle EF}$的长度大于等于直角腰${\displaystyle UV}$。因此：

${\displaystyle x\sin A=EF\geq UV=r\sin B+q\sin C}$

${\displaystyle x\geq r{\frac {\sin B}{\sin A}}+q{\frac {\sin C}{\sin A}}}$

类似地，还有：

${\displaystyle y\geq r{\frac {\sin A}{\sin B}}+p{\frac {\sin C}{\sin B}}}$，${\displaystyle z\geq p{\frac {\sin B}{\sin C}}+q{\frac {\sin A}{\sin C}}}$

三式相加，得到：

${\displaystyle x+y+z\geq r\left({\frac {\sin B}{\sin A}}+{\frac {\sin A}{\sin B}}\right)+q\left({\frac {\sin C}{\sin A}}+{\frac {\sin A}{\sin C}}\right)+p\left({\frac {\sin C}{\sin B}}+{\frac {\sin B}{\sin C}}\right)}$

根据算幾不等式，${\displaystyle \left({\frac {\sin B}{\sin A}}+{\frac {\sin A}{\sin B}}\right)\geq 2}$，等等，于是最终得到：

${\displaystyle x+y+z\geq 2(p+q+r)}$

这就是埃尔德什-莫德尔不等式。

从证明中可以看到，等号取得的充要条件是${\displaystyle \sin A=\sin B=\sin C}$以及${\displaystyle {\overline {OA}}\perp {\overline {EF}},{\overline {OB}}\perp {\overline {FD}},{\overline {OC}}\perp {\overline {DE}}}$，也就是说不等式中的等号成立当且仅当三角形是等边三角形以及${\displaystyle P}$為三角形中心。

1. N.D.卡扎里诺夫，刘西垣 译. . 北京大学出版社. 1986年.

• （英文）Claudi Alsina，Roger B. Nelsen. (PDF). InequalityForum Geometricorum，Volume 7 (2007) 99–102. [2009-10-28]. （原始内容存档 (PDF)于2020-06-05）.(埃尔德什-莫德尔不等式的历史和一个可视化证明)
• （英文）George Tsintsifas, Thessaloniki, Greece. (PDF).埃尔德什-莫德尔不等式的历史和若干个证明。
• O. Bottema (); et al. . Groningen, Wolters-Noordhoff. 1969. 引文格式1维护：显式使用等标签 (link)