麥卡托投影法

地图上纵向方位（图中的横轴）和纬度（图中的纵轴）的关系。

下列公式在使用墨卡托投影的地图中，从纬度φ和经度λ（其中λ₀是本初子午線）推导为坐标系中的坐标x和y。

这是古德曼函数的逆推导：

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\\y&=\ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right)\\&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+\sin(\varphi )}{1-\sin(\varphi )}}\right)\\&=\tanh ^{-1}\left(\sin(\varphi )\right)\\&=\sinh ^{-1}\left(\tan(\varphi )\right)\\&=\ln \left(\tan(\varphi )+\sec(\varphi )\right).\end{aligned}}}$

这是古德曼函数：

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=2\tan ^{-1}(e^{y})-{\frac {\pi }{2}}\\&=\tan ^{-1}(\sinh(y))\\\lambda &=x+\lambda _{0}.\end{aligned}}}$

比例尺与纬度φ的正割成比例，越趋向极地（φ = ±90°）面积变形越大。此外，由公式可知，极点处的y值为正负无穷大。

麥卡托投影是一种等角投影。

假设地球为正球形。（实际上并非为正球形，而是有扁率的，但制作小比例尺地图时误差可忽略不计。若需更精确，可插入等角纬线。）我们需要将经纬度坐标（λ, φ）转换为笛卡尔坐标(x, y)，求以赤道为基准的切柱面投影（即x = λ），并保持形状不变，故：

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=\cos(\varphi ){\frac {\partial y}{\partial \varphi }}}$

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=-\cos(\varphi ){\frac {\partial x}{\partial \varphi }}}$

从 x = λ 可知

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=1}$

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=0}$

给出

${\displaystyle 1=\cos(\varphi ){\frac {\partial y}{\partial \varphi }}}$

${\displaystyle 0={\frac {\partial y}{\partial \lambda }}}$

因此，y是φ的唯一函数，且可得到${\displaystyle y'=\sec \varphi }$，由积分表

${\displaystyle y=\ln(|\sec(\varphi )+\tan(\varphi )|)+C.\,}$

在地图中φ = 0得到y = 0，所以取C = 0.

以麥卡托投影法繪製的地圖。

由於麥卡托投影在高緯度過分放大，低緯度又過分縮小，因此會產生有趣的錯覺。比如世界第一大島高緯度的格陵蘭比澳洲看起來還大好幾倍。世界第二大島低緯度的新幾內亞和日本差不多大小。然而新幾內亞島面積足足是日本的2倍。

以下是實際面積（單位：平方公里）

• 澳洲：7,692,024平方公里
• 格陵蘭：2,166,086平方公里
• 日本：378,000平方公里
• 新幾內亞島：786,000平方公里

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• A Look at the Mercator Projection https://www.gislounge.com/look-mercator-projection/（页面存档备份，存于）