大筛法

假若集合${\displaystyle S}$對質數${\displaystyle p}$取模的結果有不良分布（也就是說，不包含在同餘類${\displaystyle A_{p}}$當中），那麼${\displaystyle S}$對質數${\displaystyle p}$取模後的集合的特徵方程${\displaystyle f_{p}}$的傅立葉係數${\displaystyle {\widehat {f_{p}}}(a)}$平均而言會很大。這些係數可提至對${\displaystyle S}$的特徵方程${\displaystyle f}$的傅立葉變換${\displaystyle {\widehat {f}}}$的取值${\displaystyle {\widehat {f}}(a/p)}$（也就是${\displaystyle {\widehat {f}}(a/p)={\widehat {f_{p}}}(a)}$）

藉由有界微分，可知平均來說，對所有靠近有理數${\displaystyle a/p}$的數[3]而言，${\displaystyle {\widehat {f}}(x)}$必然會很大。這裡所謂的「很大」指的是「有一個相對較大的常數乘上${\displaystyle \left|S\right|}$」。

由於${\displaystyle |f|_{2}={\sqrt {|S|}},}$之故，因此除非${\displaystyle \left|S\right|}$很小，不然我們可得到一個與普蘭哲瑞不等式（Plancherel inequality）相矛盾的結果：

${\displaystyle |{\widehat {f}}|_{2}=|f|_{2}}$

在實務上，為了得到最佳化的上下界，人們常將普蘭哲瑞不等式（Plancherel inequality）給改成一個等式，而非上述的有界形式。

人們也可透過以下泛函分析的基本事實證明大篩法的強結果：

對一個線性算子而言，其範數會與其伴隨的範數相等。像例如${\displaystyle \sup _{v}|Av|_{W}/|v|_{V},\,}$（此處A是一個將線性空間${\displaystyle V}$映至線性空間${\displaystyle W}$的算子）會等於${\displaystyle \sup _{w}|A^{*}w|_{V}^{*}/|w|_{W}^{*}}$。

而在一些數學文獻中，這原理本身就被稱為「大篩法」。

此外也可使用塞爾伯格式的強級數，來得到大篩法。詳情可見塞爾伯格《合集》第二卷（Collected Works vol II）中的「篩法講義」（Lectures on sieves）一節。