奇點解消

對於一個域 ${\displaystyle k}$ 上的代數簇 ${\displaystyle X}$，若能找到一個完備非奇異代數簇與之雙有理等價（換言之：有相同的函數域），則稱 ${\displaystyle X}$ 有弱奇點解消。在實踐上常會要求更容易運用的條件：若存在非奇異代數簇 ${\displaystyle X'}$ 及真雙有理態射 ${\displaystyle X'\to X}$，使之在 ${\displaystyle X}$ 的奇點集 ${\displaystyle \mathrm {Sing} (X)}$ 之外為同構，則稱 ${\displaystyle X}$ 有奇點解消。真態射的條件意在排除平凡解，例如 ${\displaystyle X'=X\setminus \mathrm {Sing} (X)\hookrightarrow X}$。

一般而言，設 ${\displaystyle X\hookrightarrow W}$，其中 ${\displaystyle W}$ 是非奇異代數簇，此時一個實用的概念是 ${\displaystyle X}$ 在 ${\displaystyle W}$ 中的強奇點解消：這是一個真雙有理態射 ${\displaystyle f:W'\to W}$，滿足下述條件：

1. ${\displaystyle W'\to W}$ 由一系列對非奇異閉子簇的拉開合成，每一步取的閉子簇都橫截已拉開的例外除數。
2. ${\displaystyle X}$ 的嚴格變換 ${\displaystyle X'}$ 是非奇異的，並與橫截拉開的例外除數；於是限制態射 ${\displaystyle X'\to X}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的奇點解消。
3. ${\displaystyle W'}$ 的構造對平滑態射具函子性。
4. 態射 ${\displaystyle X'\to X}$ 與 ${\displaystyle X}$ 在 ${\displaystyle W}$ 中的嵌入方式無關。

廣中平祐證明了：當域 ${\displaystyle k}$ 的特徵為零，則存在滿足前兩個條件的強奇點解消。他的建構後經多位數學家改進，以滿足全部四個條件。

代數曲線的奇點解消較容易，在19世紀已廣為人知。證明方法不一：最常見的兩種是相繼拉開奇點，或取曲線的正規化。正規化消解的是所有餘維度為一的奇點，因此僅適用於曲線。

複代數曲面的奇點解消先後由 Beppo Levi（1899年）、O. Chisini（1921年）與 G. Albanese（1924年）給出非正式的說明。第一個嚴謹證明由 Robert J. Walker 於1935年給出。對所有零特徵域均成立的代數證明由扎裡斯基於1939年給出。S. S. Abhyankar 證明正特徵域上的情形（1956年）。所有二維優概形（包括所有算術曲面）的奇點解消由 Lipman 在1978年證出。

消解曲面奇點的通常辦法是不斷將曲面正規化（以消去餘維為一的奇點）並拉開奇點（以改善餘維為二的奇點，但是可能會增加新的餘維一的奇點）。

對於三維情形，零特徵域上首先由扎裡斯基證明（1944年）；域特徵超過 5 的情形由 S. S. Abhyankar 於1966年證明。

零特徵域上任意維度的奇點消解首先由廣中平祐於1964年證出。他證明可以藉著相繼對非奇異閉子流形作拉開以消去奇點，其證明中對維度作了相當複雜的數學歸納法。簡化版的證明之後由許多數學家給出，包括 Bierstone 與 Milman（1997年），Encinas 與 Villamayor（1998年），Encinas 與 Hauser（ 2002年）、Cutkosky（2004年），Wlodarczyk（2005年）及 Kollar（2007年）。某些晚近證明的長度還不及廣中平祐證明的十分之一，並簡單到可以在研究所導論課程中給出。關於該定理的介紹，詳閱文獻中 Hauser 的著作（2003），歷史討論請見 Hauser（2000）。

A. J. de Jong 在1996年提出奇點解消的另種進路，這套進路被 Bogomolov 與 Pantev（1996年）及 Abramovich 與 de Jong（1997年）用於證明零特徵域上的奇點解消。De Jong 的方法對正特徵域上的代數簇給出較弱的結果，然而已足以替代奇點解消的許多角色。

De Jong 證明對任意域上的代數簇 ${\displaystyle X}$，存在滿的真態射 ${\displaystyle X'\to X}$，使得 ${\displaystyle \dim X'=\dim X}$ 且 ${\displaystyle X'}$ 非奇異。這不一定是雙有理等價，${\displaystyle X'}$ 的函數域可能是有限擴張，故非奇點解消。De Jong 的想法是嘗試將 ${\displaystyle X}$ 表為一個較小空間 ${\displaystyle Y}$ 上的纖維化映射，使得纖維均為曲線（為此可能需要修改 ${\displaystyle X}$），然後藉著對維度作數學歸納法消去 ${\displaystyle Y}$ 的奇點，最後消去纖維上的奇點。

奇點解消的定義容易推廣到所有概形。並非所有概形都有奇點解消：格羅滕迪克（1965, EGA IV 7.9）證明了如果在一個局部諾特概形 ${\displaystyle X}$ 上有限的所有整概形都有奇點解消，則 ${\displaystyle X}$ 必然是擬優概形。格羅滕迪克猜測其逆為真，換言之：如果一個局部諾特概形 ${\displaystyle X}$ 是擬優且既約的，則可以消解奇點。當 ${\displaystyle X}$ 定義於一個零特徵的域上時，此陳述能由廣中平祐的定理導出；一般情形則化約到整完備局部環的奇點解消問題。

• 一些奇點及其解消之圖片（页面存档备份，存于）
• SINGULAR（页面存档备份，存于）: 一套能處理奇點解消的軟件
• 2006年6月的暑期學校 Resolution of Singularities (Trieste, Italy) 的講義
• desing（页面存档备份，存于） 另一套處理奇點解消的軟件

• Abhyankar, Shreeram Local uniformization on algebraic surfaces over ground fields of characteristic p≠0 Ann. of Math. (2) 63 (1956), 491--526.
• S.S. Abhyankar, Resolution of singularities of embedded algebraic surfaces , Acad. Press (1966), second edition (1998) ISBN 3540637192
• Abramovich, D., de Jong, A. J., Smoothness, semistability, and toroidal geometry.（页面存档备份，存于） J. Algebraic Geom. 6 (1997), no. 4, 789-801.
• G. Albanese, Transformazione birazionale di una superficie algebrica in un altra priva di punti multiple, Rend. Circ. Mat. Palermo 48 (1924).
• Bierstone, Edward, Milman, Pierre D. Canonical desingularization in characteristic zero by blowing up the maximum strata of a local invariant. Invent. Math. 128 (1997), no. 2, 207-302.
• Bogomolov, Fedor A., Pantev, Tony G. Weak Hironaka theorem.（页面存档备份，存于） Math. Res. Lett. 3 (1996), no. 3, 299-307.
• O. Chisini, La risoluzione delle singolarita di una superficie, Mem. Acad. Bologna, 8 (1921).
• Steven Dale Cutkosky Resolution of Singularities (2004) ISBN 0821835556
• V.I. Danilov, , Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• de Jong, A. J. Smoothness, semi-stability and alterations.（页面存档备份，存于） Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 83 (1996), 51-93.
• Encinas, S. Hauser, Herwig Strong resolution of singularities in characteristic zero.（页面存档备份，存于） Comment. Math. Helv. 77 (2002), no. 4, 821--845.
• Encinas, S., Villamayor, O., Good points and constructive resolution of singularities. Acta Math. 181 (1998), no. 1, 109--158.
• A. Grothendieck, J. Dieudonne, Eléments de géométrie algébrique（页面存档备份，存于） Publ. Math. IHES, 24 (1965)
• Hauser, Herwig (2000) Resolution of singularities 1860-1999. In Resolution of singularities (Obergurgl, 1997), 5-36, Progr. Math., 181, Birkhäuser, Basel, 2000. ISBN 0817661786
• Hauser, Herwig (2003) The Hironaka theorem on resolution of singularities (or: A proof we always wanted to understand).（页面存档备份，存于） Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 40 (2003), no. 3, 323-403
• Hironaka, Heisuke Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero. I, II. Ann. of Math. (2) 79 (1964), 109-203; ibid. (2) 79 1964 205-326.
• Janos Kollar Lectures on Resolution of Singularities (2007) ISBN 0691129231 (similar to his Resolution of Singularities -- Seattle Lecture（页面存档备份，存于）.
• B. Levi, Risoluzione delle singolarita puntualli delle superficie algebriche, Atti. Acad. Torino, 34 (1899).
• J. Lipman, Desingularization of two-dimensional schemes, Ann. Math. 107 (1978) 151-207.
• Robert J. Walker, Reduction of the Singularities of an Algebraic Surface The Annals of Mathematics 2nd Ser., Vol. 36, No. 2 (Apr., 1935), pp. 336-365
• Wlodarczyk, Jaroslaw Simple Hironaka resolution in characteristic zero.（页面存档备份，存于） J. Amer. Math. Soc. 18 (2005), no. 4, 779-822
• Zariski, Oscar The reduction of the singularities of an algebraic surface. Ann. of Math. (2) 40, (1939). 639-689.
• Zariski, Oscar Reduction of the singularities of algebraic three dimensional varieties. Ann. of Math. (2) 45, (1944). 472-542.