奎伦伴随

给定两个封闭模型范畴C、D，奎伦伴随是一对

(F, G): C ${\displaystyle \leftrightarrows }$ D

伴随函子，F左伴随G，使得F保留了上纤维化与平凡上纤维化；或根据封闭模型公理，G保留了纤维化与平凡纤维化。在这样的伴随关系中，F是左奎伦函子，G是右奎伦函子。

由公理可知，奎伦函子保留了（上）纤维化对象间的弱等价。奎伦的全导函子公理称，左全导函子

LF：Ho(C) → Ho(D)

是右全导函子

RG: Ho(D) → Ho(C)

的左伴随。这样的伴随(LF, RG)称为导伴随。

若(F, G)是上述的奎伦伴随，使

F(c) → d

与c上纤维化、与d纤维化在D中是弱等价，当且仅当

c → G(d)

是C的弱等价，则称之为封闭模型范畴C、D的奎伦等价。这时，导伴随是范畴的伴随等价，因此

LF(c) → d

是Ho(D)的同构，当且仅当

c → RG(d)

是Ho(C)的同构。

• Goerss, Paul G.; Jardine, John F. . Progress in Mathematics 174. Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser. 1999. ISBN 978-3-7643-6064-1.
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• Philip S. Hirschhorn, Model Categories and Their Localizations, American Mathematical Soc., Aug 24, 2009 - Mathematics - 457 pages