範疇 (數學)

一個範疇C包括：

• 一個由物件所構成的類ob(C)
• 物件間的態射所構成的類hom(C)。每一個態射f都會有唯一個「源物件」a和「目標物件」b，且 a和b都在ob(C)之內。因此寫成f: a → b，且稱f為由a至b的態射。所有由a至b的態射所構成的「態射類」，其標記為hom(a, b) （或 hom_C(a, b)）。
• 對任三個物件a、b和c，二元運算hom(a, b)×hom(b, c)→hom(a, c)稱之為態射複合；f : a → b和g : b → c的複合寫成g o f或gf。

此態射複合滿足下列公理：

• （結合律）若f : a → b、g : b → c且h : c → d，則h o(g o f)=(h o g)o f；
• （單位元）對任一物件x，存在一態射1_x : x → x，使得每一態射f : a → b，都會有1_b o f = f = f o 1_a。此一態射稱為「x的單位態射」。

由上述公理，可證明對每一個物件均只確實地存在著單一個單位態射。一些作者會將每一個物件等同於其相對應的單位態射。

小範疇是一個ob(C)和hom(C)都是集合而不是真類的範疇。不是小範疇的範疇則稱之為大範疇。局部小範疇是指對所有物件a和b，態射類hom(a,b)都會是集合（被稱之為態射集合）的一個範疇。許多在數學中的重要範疇（如集合的範疇），即使不是小範疇，但也都至少會是局部小範疇。

每一範疇都可由其物件、態射和態射複合來表示。

• 所有集合的範疇Set，其態射為集合間的函數，而態射複合則為一般的函數複合。（下列皆為具體範疇的例子，即在Set上加入一些結構，且要求態射為對應於此附加結構的函數，態射複合則為簡單的一般函數複合。）
  • 所有預序關係的範疇Ord，其態射為單調函數。
  • 所有原群的範疇Mag，其態射為原群間的同態。
  • 所有群的範疇Grp，其態射為群間的群同態。
  • 所有阿貝爾群的範疇Ab，其態射為群間的群同態。
  • 所有環的範疇Ring，其態射為環同態。
  • 所有於體K（維持固定）上的向量空間的範疇Vect_K，其態射為線性映射。
  • 所有拓樸空間的範疇Top，其態射為連續函數。
  • 所有度量空間的範疇Met，其態射為度量映射。
  • 所有一致空間的範疇Uni，其態射為一致連續函數。
  • 所有光滑流形的範疇Man^p，其態射為p次連續可微映射。
• 所有小範疇的範疇Cat，其態射為函子。
• 所有集合的範疇Rel，其態射為關係
• 任一預序集合(P, ≤)都會形成一個小範疇，其物件為P的元素，態射為由x至y若x ≤ y（而態射複合的公理則是必然滿足的，因為由任一物件至另一物件間至多只存在一個態射）。
• 任一么半群都會形成一個具單一個物件x的小範疇（此處的x是任一個固定的集合）。從x至x的態射恰好是么半群的元素，且其態射複合由么半群的運算所給定。么半群令態射絕不可能為函數，唯一從單元素集合x至x的函數為當然函數。可視範疇為廣義化了的么半群；一些和么半群有關的定義和定理也可能可以義廣化成範疇的定義和定理。
• 任一有向圖都會產生一個小範疇：其物件為圖的頂點，態射為圖中的路徑，而態射複合則為路徑的串接。這被稱之為由圖產生出的「自由範疇」。
• 若I是一個集合，「在I上的具體範疇」會是個小範疇，其物件為I的元素，而態射則只有單位態射。當然，其態射複合的公理是必然滿足的。
• 任一範疇C皆可以另一種方式被視為是一個新的範疇：其物件和原範疇的一樣，但態射則和原範疇相反。這被稱之為對偶範疇，標記為C^op。
• 若C和D為範疇，可形成一「積範疇」C×D：其物件為由C和D內的物件所組成的對，且態射亦為由C和D內的態射所組成的對。這些對的態射複合是由各元素各自複合。

一个态射f : a → b被称为

• 单态射，若且唯若对于所有的态射g₁, g₂ : x → a，fg₁ = fg₂可推得g₁ = g₂.
• 满态射，若且唯若对于所有的态射g₁, g₂ : b → x，g₁f = g₂f 可推得g₁ = g₂.
• 双态射，若且唯若f 既是单态射又是满态射
• 收缩（retraction），若且唯若它有右逆，也就是说，如果存在一个态射g : b → a滿足fg = 1_b。收縮又被稱作分裂满态射。
• 截面（section），若且唯若它有左逆，也就是说，如果存在一个态射g : b → a滿足gf = 1_a。截面又被稱作分裂单态射。
• 同构，若且唯若它有逆，即如果存在态射g : b → a满足fg = 1_b且gf = 1_a.
• 同态，若且唯若a = b. a的同态的类表示为end(a)。
• 自同构，若且唯若f既是同态又是同构。a的自同构的类表示为aut(a)。

下述三个命题是等价的：

• f 是单态射且是收缩。
• f 是满态射且是截面。
• f 是同构。

态射之间的关系（例如fg = h）可以非常方便地表示为交换图表，其中物件表示为点，态射表示为箭头。

• 在许多范畴中，例如阿贝尔群范畴或向量空间范畴，态射集合hom(a, b)不仅是集合，而且还是阿贝尔群，并且态射的复合与这些阿贝尔群之间的群结构兼容，即复合映射是双线性的。这种范畴称为预可加范畴。如果在此基础上这个范畴还带有所有有限积和上积，那么我们称之为可加范畴。如果更进一步地，所有态射都有核和上核，并且每个满态射都是上核而每个单态射都是核，那么我们称之为阿贝尔范畴。阿贝尔范畴的典型例子是阿贝尔群的范畴。
• 范畴是完备的当其拥有所有极限。集合、阿贝尔群、拓扑空间的范畴都是完备的。
• 范畴是笛卡尔闭的当其拥有所有有限直积、且有限积上的态射总是可由任一因子上的态射确定。笛卡尔闭范畴包括Set和CPO，即完全偏序和斯科特连续函数组成的范畴。
• 拓扑斯是一种特定的笛卡尔闭范畴；所有数学内容都可以用拓扑斯的语言形式化（正如所有经典数学都可以用集合范畴的语言形式化一般）。拓扑斯也可用于表示逻辑理论。

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.（1990）. Abstract and Concrete Categories （页面存档备份，存于）. Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.（now free on-line edition）
• Asperti, Andrea, & Longo, Giuseppe (1991). Categories, Types and Structures. Originally publ. M.I.T. Press.
• Barr, Michael, & Wells, Charles (2002). Toposes, Triples and Theories.（revised and corrected free online version of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften（278）. Springer-Verlag,1983)
• Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra.. Vols. 50-52 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press.
• Lawvere, William, & Schanuel, Steve.（1997）. Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories. Cambridge: Cambridge University Press.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician（2nd ed.）. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Jean-Pierre Marquis, "Category Theory" （页面存档备份，存于） in Stanford Encyclopedia of Philosophy （页面存档备份，存于）, 2006

• Homepage of the Categories mailing list, with extensive list of resources
• Category Theory section of Alexandre Stefanov's list of free online mathematics resources