婆罗摩笈多-斐波那契恒等式

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&=a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}\\&=\left(a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}{\color {red}-2abcd}\right)+\left(a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}{\color {red}+2abcd}\right)\\&=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}\end{aligned}}}$

而若將${\displaystyle {\color {red}-2abcd}}$與${\displaystyle {\color {red}+2abcd}}$互換位置，即可得

${\displaystyle \left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}}$

四平方和恒等式是一个类似的等式，含有四个平方和，与四元数有关。还有一个八平方和恒等式。

如果${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$和${\displaystyle d}$是实数，那么这个等式与複數的绝对值的乘法性质是等价的，也就是说：

${\displaystyle |a+bi||c+di|=|(a+bi)(c+di)|\,}$

由于

${\displaystyle |a+bi||c+di|=|(ac-bd)+i(ad+bc)|,\,}$

两边平方，得

${\displaystyle |a+bi|^{2}|c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},\,}$

根据绝对值的定义，

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.\,}$

在${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$和${\displaystyle d}$是有理数的情况中，这个等式可以解释为域${\displaystyle Q(i)}$的范数是积性的。也就是说：

${\displaystyle N(a+bi)=a^{2}+b^{2}\,}$且${\displaystyle N(c+di)=c^{2}+d^{2},\,}$

而且

${\displaystyle N[(a+bi)(c+di)]=N[(ac-bd)+i(ad+bc)]=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.\,}$

所以，这个等式就是说

${\displaystyle N[(a+bi)(c+di)]=N(a+bi)\cdot N(c+di).\,}$

• 婆罗摩笈多矩阵
• 复数
• 四平方和恒等式

• PlanetMath
• MathWorld （页面存档备份，存于）