实数完备性

又稱為上確界定理（Theorem of Least-Upper-Bound, 簡稱LUB），也就是

也就是說，实数非空子集有上界，则它有最小上界。其證明請參見實數的構造。

设 ${\displaystyle \{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ 是實數柯西序列。设 S 為這樣一個集合，其中每個實數只大於序列 ${\displaystyle \{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ 中的有限個成員。${\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+}}$，设 ${\displaystyle N\in \mathbb {N} ^{+}}$ 使得 ${\displaystyle \forall n,m\geq N}$， ${\displaystyle |s_{n}-s_{m}|<\varepsilon }$。於是这个序列在区间 ${\displaystyle (s_{N}-\varepsilon ,s_{N}+\varepsilon )}$ 裡出現无限多次，而且只在它的補集裡最多出現有限次。这意味着 ${\displaystyle s_{N}-\varepsilon \in }$ S， 因此 S${\displaystyle \not =\emptyset }$。另外 ${\displaystyle s_{N}+\varepsilon }$ 是 S 的上界。於是通过 LUB 公理，可以设 b 是 S 的最小上界，而且 ${\displaystyle s_{N}-\varepsilon \leq b\leq s_{N}+\varepsilon }$ 。由三角不等式，當 n>N 時成立时 ${\displaystyle d(s_{n},b)\leq d(s_{n},s_{N})+d(s_{N},b)\leq \varepsilon +\varepsilon =2\varepsilon }$。所以 ${\displaystyle s_{n}\longrightarrow b}$ 。

滿足柯西收敛准则的度量空間稱為完備空間，若取函數 ${\displaystyle d}$ 為

${\displaystyle d=\left\{(a,\,b){\bigg |}(a,\,b\in \mathbb {R} )\wedge (b=|a|)\right\}}$

可以驗證 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\,d)}$ 為一度量空間，這樣本節的結果也可以重新敘述為「實數系 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 有最小上界定理等價於 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\,d)}$ 為完備空間。」

定理聲稱對於任一的有界閉區間套I_n（例如I_n = [a_n, b_n]並滿足a_n ≤ b_n），它們的交集I_n非空，且為閉區間${\displaystyle [\lim _{n\to \infty }a_{n},\lim _{n\to \infty }b_{n}]}$；特別地，假若${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}-b_{n}=0}$，則它們的交集J為一個包含且僅包含${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}}$的單點集。

如果a_k是一个单调的实数序列（例如a_k ≤ a_k+1），则这个序列具有有限极限，当且仅当序列是有界的。证明可以通过利用LUB公理来完成。

波爾查諾-魏爾施特拉斯定理（英語：）说明，${\displaystyle \mathbb {R} }$中的一個子集${\displaystyle E}$是序列緊緻（每個序列都有收斂子序列）当且仅当${\displaystyle E}$是有界閉集。更一般地，這個定理對有限维实向量空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$亦有效。