最小上界

${\displaystyle \sup\{1,2,3\}=3\,}$

${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1\,}$

${\displaystyle \sup\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} \}=1\,}$

${\displaystyle \sup\{a+b:a\in A{\mbox{ and }}b\in B\}=\sup(A)+\sup(B)\,}$

${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}={\sqrt {2}}\,}$

这个有理数的集合的上确界是个无理数，这意味着有理数是不完备的。

此外，如果我们定义在 S 是空集的时候 sup(S) = −∞ 和在 S 没有上界的时候 sup(S) = +∞ ，则实数的所有集合都在扩展的实数轴上有上确界。

${\displaystyle \sup \mathbb {Z} =\infty \,}$

${\displaystyle \sup \varnothing =-\infty \,}$

如果上确界属于这个集合，则它是这个集合的最大元素。术语极大元在处理实数或任何其他全序集合的时候是同义的。

要证明 a = sup(S)，必须证明 a 是 S 的上界并且 S 的任何其他上界大于 a；等价地，也可以证明 a 是 S 的上界并且小于 a 的任何数都不是 S 的上界。